Тема Задачи с параметром

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103847

Для данного треугольника $ABC$ с соответствующими сторонами $a,b,c$ рассматривают уравнение $ax4+ bx= c$ . Докажите, что у этого уравнения ровно два корня, они разных знаков, причём отрицательный корень по модулю больше положительного.

Показать доказательство

Так как $a,b,c$ являются сторонами треугольника, то они положительны. Поэтому $y = ax4$ это парабола 4 степени ветвями вверх, а $y =c− bx$ это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая проходит через точки $(0;c)$ и $c (b;0).$ Нарисуем графики:

$PIC$

Очевидно, что две данные функции имеют две точки пересечения. Обозначим их абсциссы за $x1 < 0< x2$ (уже очевидно из графика, что корни разных знаков), а ординаты за $y1$ и $y2.$ Из подобных прямоугольных треугольников видно, что $y1 > y2,$ поэтому

1√ -- 1√-- |x1|= a 4y1 < a 4y2 = |x2|

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48861

При каких $a$ уравнение $arcsin(cosx)=cos(arcsin(x− a))$ имеет единственное решение?

Источники: Росатом - 2021, 11.5, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Изобразим график $y = arcsincosx$ на $[−π,π]$ . Сама функция имеет период $2π$ , поэтому на остальной прямой график будет повторяться

$PIC$

Теперь посмотрим на график правой части $∘ --------2 y = cosarcsin(x− a)= 1− (x− a)$ , который будет полуокружностью

$PIC$

Например, графики будут расположены так при $a0 =− π$

$PIC$

С ростом параметра $a$ оранжевый график перемещается вправо. Достаточно рассмотреть значения $a ∈[−π,π]$ , поскольку оранжевый график может пересекать не более одного “уголка” синего графика (помним про периодичность). Остаётся найти те значения параметра, при которых изменяется количество общих точек на $[−π,π]$ .

Первое такое значение будет в момент первого пересечения при движении оранжевого графика вправо

$PIC$

Заметим, что правая точка оранжевого графика соответствует $x= a+ 1$ , откуда

a+ 1= − π ⇐⇒ a1 =− π − 1 2 2

При дальнейшем движении решение будет только одно вплоть до положения

$PIC$

когда решений становится два. Левая точка оранжевого графика соответствует $x= a− 1$ , откуда

π π a− 1= −2 ⇐⇒ a2 =− 2 +1

Дальше решения будет два вплоть до положения, когда произойдёт касание

$PIC$

Поскольку касательная имеет коэффициент наклона $− 1$ , то на полуокружности это точка $1 1 (a− √2,√2)$ (учитывая смещение на $a$ из центра координат). При этом точка касания лежит на прямой $π y =x + 2$ (левая часть уголка), откуда

1 1 π π √- √2-= a− √2 + 2 ⇐ ⇒ a3 =− 2 + 2

Далее решений не будет вплоть до касания с противоположной стороны уголка в симметричной точке $a4 =− a3 = π2 − √2$ , где решение будет одно. Далее вплоть до $a5 = −a2 = π2 − 1$ решений два. Потом от неё до $a6 = π2 + 1$ решение единственное, а после до $a7 = π$ решений нет.

В итоге для единственности подойдут

a ∈[a1,a2)∪(a5,a6]∪{a3,a4}

Остаётся учесть период и написать ответ.

Ответ:

$[− π− 1+ 2πk,− π + 1+2πk)∪ (π − 1+2πk,π+ 1+ 2πk]∪{− π+ √2+ 2πk,π − √2-+ 2πk} , k∈ ℤ 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#51341

Найдите все значения параметра $b$ такие, что система

{ x cosa+ ysina− 2≤ 0 x2+ y2+ 6x − 2y− b2+4b+ 6= 0

имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $a$ .

Источники: Физтех-2017, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра $a$ расстояние от начала координат до прямой $xcosa+ ysina− 2= 0$ равно $2,$ а точка $(0;0)$ удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку $(0;0),$ границей которой является прямая, касающаяся окружности $2 2 x + y = 4.$

Уравнение данной системы можно преобразовать к виду $2 2 2 (x+ 3)+ (y− 1) = (b − 2).$ Оно задаёт окружность $Ω(b)$ с центром $(−3;1)$ радиуса $|b− 2|($ или точку $(−3;1)$ при $b= 2).$

Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра $a,$ требуется, чтобы окружность $Ω(b)$ пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть $r0−$ радиус той окружности $Ω(b),$ которая касается окружности $2 2 x + y = 4$ внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка $[r0;+∞ )$ .

Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что $√-- r0 = 10− 2,$ поэтому $√-- |b− 2|≥ 10− 2$ а значит $√-- √ -- b∈ (− ∞;4− 10]∪[ 10;+∞ )$ .