Графика. Множество касательных, арктрига и прочее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все значения параметра 
, при которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Источники:
Подсказка 1
Раз у нас произведение скобок равно нулю, то хоть одна из них равна нулю. Так мы можем свести систему к совокупности из двух систем поменьше) Что можно сказать об уравнениях в каждой из новых систем?
Подсказка 2
Первое уравнение - уравнение окружности, а второе - парабола относительно y. Мы хотим получить три решения, но обычно существуют всякие случаи когда корни из двух случаев пересекаются...Можем ли мы сразу отмести такие варианты?
Подсказка 3
Да! Из второго уравнения мы видим, что x >= 7, что точно не может быть решением первой системы. Теперь давайте снова вернемся к первой системе: на что похоже второе уравнение и как меняется его график при изменении параметра?
Подсказка 4
Если очень внимательно посмотреть, то окажется, что для всех параметров мы получим семейство прямых, которые касаются как раз нашей окружности из первого уравнения! Это можно видеть просто подстановкой из второго уравнения в первое, или по формуле расстояния от точки до прямой. Значит, там всегда одно решение, и осталось понять, когда у нас два решения у второй совокупности)
Система равносительна совокупности
Графиком уравнения 
является окружность с центром 
, радиус которой равен 
.
Графиком уравнения 
является парабола с вершиной 
, симметричная относительно оси абсцисс, причем
.
Эти графики не имеют общих точек, следовательно, системы из совокупности общих решений не имеют.
Уравнение 
задаёт семейство прямых, причём при любом 
расстояние от центра окружности 
до
прямой равно
радиусу. Поэтому это уравнение задает семейство касательных к окружности.
Тогда первая система совокупности имеет одно решение при всех 
. А значит, вторая система должна иметь ровно два
решения.
Если 
, то 
или 
При 
имеем одно решение 
; при 
получаем 
— одно решение.
Следовательно, 
Тогда вторую систему запишем в виде
Откуда
Это квадратное относительно 
уравнение будет иметь два решения при положительном дискриминанте.
Тогда 
, откуда 
. Но 
, следовательно, 
.
Решая эти неравенства, получаем ответ.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
