Тема Задачи с параметром

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48861

При каких $a$ уравнение $arcsin(cosx)=cos(arcsin(x− a))$ имеет единственное решение?

Источники: Росатом - 2021, 11.5, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на левую часть. С аркфункциями работать не хочется, поэтому нужно от них избавиться. Нам намного удобнее работать с выражением arccos(cos(x)). Попробуйте привести всё к нему в левой части.

Подсказка 2

Отлично! Левая часть равна π/2 - arccos(cos(x)). Теперь взглянем на правую часть. Тут также хочется избавиться от тригонометрических функций. Обозначьте arcsin(x - a) как за угол α и воспользуйтесь тем, что sin(α) = x - a.

Подсказка 3

Так, теперь мы получили, что левая часть равна √(1 - (x-a)^2). Попробуем изобразить графики полученных функций.(Заметьте, что левую часть можно рассматривать только на отрезке [-π;π], ведь у неё период 2π).

Подсказка 4

Нам нужно только одно решение. То есть можно смотреть только на a от -π до π, а потом записать ответ с периодом 2π. Теперь всего лишь осталось посмотреть, как наша полуокружность движется в зависимости от a, и найти точки, где одно пересечение.

Показать ответ и решение

Изобразим график $y = arcsincosx$ на $[−π,π]$ . Сама функция имеет период $2π$ , поэтому на остальной прямой график будет повторяться

$PIC$

Теперь посмотрим на график правой части $∘ --------2 y = cosarcsin(x− a)= 1− (x− a)$ , который будет полуокружностью

$PIC$

Например, графики будут расположены так при $a0 =− π$

$PIC$

С ростом параметра $a$ оранжевый график перемещается вправо. Достаточно рассмотреть значения $a ∈[−π,π]$ , поскольку оранжевый график может пересекать не более одного “уголка” синего графика (помним про периодичность). Остаётся найти те значения параметра, при которых изменяется количество общих точек на $[−π,π]$ .

Первое такое значение будет в момент первого пересечения при движении оранжевого графика вправо

$PIC$

Заметим, что правая точка оранжевого графика соответствует $x= a+ 1$ , откуда

a+ 1= − π ⇐⇒ a1 =− π − 1 2 2

При дальнейшем движении решение будет только одно вплоть до положения

$PIC$

когда решений становится два. Левая точка оранжевого графика соответствует $x= a− 1$ , откуда

π π a− 1= −2 ⇐⇒ a2 =− 2 +1

Дальше решения будет два вплоть до положения, когда произойдёт касание

$PIC$

Поскольку касательная имеет коэффициент наклона $− 1$ , то на полуокружности это точка $1 1 (a− √2,√2)$ (учитывая смещение на $a$ из центра координат). При этом точка касания лежит на прямой $π y =x + 2$ (левая часть уголка), откуда

1 1 π π √- √2-= a− √2 + 2 ⇐ ⇒ a3 =− 2 + 2

Далее решений не будет вплоть до касания с противоположной стороны уголка в симметричной точке $a4 =− a3 = π2 − √2$ , где решение будет одно. Далее вплоть до $a5 = −a2 = π2 − 1$ решений два. Потом от неё до $a6 = π2 + 1$ решение единственное, а после до $a7 = π$ решений нет.

В итоге для единственности подойдут

a ∈[a1,a2)∪(a5,a6]∪{a3,a4}

Остаётся учесть период и написать ответ.

Ответ:

$[− π− 1+ 2πk,− π + 1+2πk)∪ (π − 1+2πk,π+ 1+ 2πk]∪{− π+ √2+ 2πk,π − √2-+ 2πk} , k∈ ℤ 2 2 2 2 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#51341

Найдите все значения параметра $b$ такие, что система

{ x cosa+ ysina− 2≤ 0 x2+ y2+ 6x − 2y− b2+4b+ 6= 0

имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $a$ .

Источники: Физтех-2017, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра $a$ расстояние от начала координат до прямой $xcosa+ ysina− 2= 0$ равно $2,$ а точка $(0;0)$ удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку $(0;0),$ границей которой является прямая, касающаяся окружности $2 2 x + y = 4.$

Уравнение данной системы можно преобразовать к виду $2 2 2 (x+ 3)+ (y− 1) = (b − 2).$ Оно задаёт окружность $Ω(b)$ с центром $(−3;1)$ радиуса $|b− 2|($ или точку $(−3;1)$ при $b= 2).$

Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра $a,$ требуется, чтобы окружность $Ω(b)$ пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть $r0−$ радиус той окружности $Ω(b),$ которая касается окружности $2 2 x + y = 4$ внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка $[r0;+∞ )$ .

Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что $√-- r0 = 10− 2,$ поэтому $√-- |b− 2|≥ 10− 2$ а значит $√-- √ -- b∈ (− ∞;4− 10]∪[ 10;+∞ )$ .

Ответ:

$(−∞;4 − √10]∪[√10;+∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78775

Найти все значения параметра $α,− π <α < π$ , при которых система уравнений

{ (4− x2− y2)(y2− 4x +28)= 0 x cosα+ ysinα = 2

имеет ровно три решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз у нас произведение скобок равно нулю, то хоть одна из них равна нулю. Так мы можем свести систему к совокупности из двух систем поменьше) Что можно сказать об уравнениях в каждой из новых систем?

Подсказка 2

Первое уравнение - уравнение окружности, а второе - парабола относительно y. Мы хотим получить три решения, но обычно существуют всякие случаи когда корни из двух случаев пересекаются...Можем ли мы сразу отмести такие варианты?

Подсказка 3

Да! Из второго уравнения мы видим, что x >= 7, что точно не может быть решением первой системы. Теперь давайте снова вернемся к первой системе: на что похоже второе уравнение и как меняется его график при изменении параметра?

Подсказка 4

Если очень внимательно посмотреть, то окажется, что для всех параметров мы получим семейство прямых, которые касаются как раз нашей окружности из первого уравнения! Это можно видеть просто подстановкой из второго уравнения в первое, или по формуле расстояния от точки до прямой. Значит, там всегда одно решение, и осталось понять, когда у нас два решения у второй совокупности)

Показать ответ и решение

Система равносительна совокупности