.04 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из закона инерции следует, что если у двух квадратичных форм 
различные положительные
индексы инерции или различные отрицательные индексы инерции, то их нельзя перевести одну в
другую при помощи линейной замены.
Но верно ли обратное? То есть, верно ли, что если у 
и 
совпадает положительный
индекс инерции и совпадает отрицательный индекс инерции, то их можно перевести
одну в другую при помощи линейного преобразования?
Пусть даны две формы 
и 
.
Что означает, что у них совпадают положительные и отрицательные индексы инерции? А
означает это, если мы приведём в нормальный вид 
и 
, то в нормальном виде у
них будет одинаковое количество членов с 1, и одинаковое количество членов с 
(и,
следовательно, одинаковое количество членов с 0). То есть, в нормальном виде наши формы вообще
одинаковые:
Но тогда, пусть 
- это линейное преобразование, переводящее 
в её нормальный вид. Пусть
- линейное преобразование, переводящее 
в её нормальный вид. Тогда, очевидно,
преобразование композиции 
переводит сначала при помощи 
форму 
в её
нормальный вид, нормальный вид 
совпадает с нормальным видом 
, поэтому потом 
переводит нормальный вид 
(он же нормальный вид 
) в изначальный вид 
.
Таким образом, композиция линейных отображений
переводит форму 
в форму 
.
(напоминание: порядок действий отображений в композиции читается справа
налево)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
