.04 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

Ясно, что из определения мгновенно следует, что форма - отрицательно определена тогда и только тогда, когда форма - положительно определена (форма действует на векторах так же, как и , но умножает результат на ).

Следовательно, чтобы была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы форма была положительно определена.

Но к форме применим критерий Сильвестра положительной определенности: форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры больше 0.

Но чем отличаются угловые миноры матрицы от угловых миноров матрицы ?

Итак, вспомним такое свойство определителя: если весь столбец матрицы умножается на какое-то число, то и весь определитель умножается на это число.

Отсюда следует, что если все элементы матрицы умножить на , то если матрица была четного порядка, то есть столбцов было чётное количество, то её определитель вообще не изменится ( вынесется чётное количество раз), а если матрица была нечётного порядка, то её определитель умножится на .

Таким образом, миноры чётного порядка матрицы равны минорам чётного порядка матрицы . А миноры нечётного порядка отличаются знаком.

Следовательно, раз для положительной определенности нам необходимо и достаточно, чтобы

То для отрицательной определенности нам необходимо и достаточно, чтобы

То есть чтобы знаки миноров исходной матрицы чередовались, начиная с минуса.