.04 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

a) В силу свойств следа

Таким образом, - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что будет линейна и по второму. Так что в данном случае - билинейна;
b) Нет, поскольку даже при фиксированном втором аргументе не будет выполнено, что , потому что

(определитель суммы не равен сумме определителей);
c) В силу свойств следа

Таким образом, - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что будет линейна и по второму. Так что в данном случае - билинейна;
d) По свойствам определенного интеграла Римана:

Таким образом, - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что будет линейна и по второму. Так что в данном случае - билинейна;
e)

Далее, давайте распишем длину через скалярное произведение, ведь мы находимся в пространстве , а в нем по определению

В то время как

Следовательно,

Таким образом, - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что будет линейна и по второму. Так что в данном случае - билинейна;