.04 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

Выберем в нашем пространстве стандартный базис. То есть базис, состоящий из матриц, у которых в каком-то одном месте стоит единица, а в остальных местах - нули. В этом базисе будет матриц, поэтому в таком базисе матрица нашей билинейной функции будет квадратной матрицей , у которой на ом месте стоит , где - базисные элементы.

Ясно, что

Но если , то в произведении таких матриц, очевидно, получится нулевая матрица, а поэтому и её след будет нулевой. Наоборот, если , то в произведении получится либо нулевая матрица, если у единица стояла не на диагонали. либо сама , если у неё единица стояла на диагонали. В таком случае

Таким образом, получим, что в матрице нашей билинейной функции равны 1 только те элементы, которые соответствуют взятию от пары совпадающих матриц, да еще и таких, что у них единица стоит где-то на диагонали.