Экстремальные задачи в планиметрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём расположенный в пространстве треугольник 
удобным, если для любой точки 
вне его плоскости из отрезков 
и
можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?
Подсказка 1
Если поразмыслить над этой задачей, порисовать какие-то треугольники и точки Р, можно понять, что если брать точку Р очень близко к одной из вершин (допустим, к А), выполнение неравенства треугольника для РА, РВ, РС сводится к тому, что АВ и АС не могут быть сильно отличны по длине.
Подсказка 2
Конечно, мысли из первой подсказки нужно формализовать. Тогда мы придем к тому, что если условие задачи выполнено, то треугольник АВС равносторонний. Теперь для равностороннего треугольника нужно доказать, что для любой точки P условие задачи выполнено.
Подсказка 3
Доказывать это можно по-разному. Один из способов (красивый) — явно построить треугольник со сторонами, равными PA, PB и РС, используя подобия.
Докажем сначала, что неравносторонний треугольник под условие подходить не может. Предположим противное, пусть такой треугольник
есть и в нём 
причём длины этих сторон различаются хотя бы на 
Рассмотрим точку 
расположенную на перпендикуляре к плоскости 
проходящем через точку 
на расстоянии 
от 
Тогда
Можно выбрать 
настолько близко к вершине 
уменьшая 
чтобы 
и 
отличались соответственно от 
и 
меньше, чем на 
и чтобы 
было меньше 
Тогда стороны 
и 
будут различаться более чем на 
а длина стороны
меньше 
— противоречие с неравенством треугольника.
Покажем теперь, что равносторонний треугольник удобен. Пусть 
Отметим на лучах 
точки 
так, чтобы выполнялись равенства:
Треугольники 
и 
подобны по углу и отношению двух сторон, откуда
Аналогично вычисляем длины остальных сторон. Получаем, что треугольник 
— искомый.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
