Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Экстремальные задачи в планиметрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91932Максимум баллов за задание: 7

На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$ , а на другой – точка $C$ . При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA = 1,OB = 5?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах бывает полезно сделать какие-то дополнительные построения, на рисунке ведь почти ничего полезного нет. Какую конструкцию хочется добавить на картинку, чтобы одновременно и воспользоваться длинами отрезков, и было что-то связанное с углами?

Подсказка 2

Кажется, какие-то прямые строить не хочется, иначе уйдём в тяжёлый счёт, пытаясь связать длины отрезков с углами. Может быть, у нас есть на примете какие-то кривые?

Подсказка 3

Тут неплохим вариантом кажется построение окружности через точки A и B, касающейся другой стороны угла.

Подсказка 4

Кажется, что точка касания стороны угла и окружности и будет той самой точкой C, при которой угол ACB — максимален. Давайте попробуем это доказать.

Подсказка 5

Если мы возьмём точку, отличную от точки касания, то предполагаемый угол будет отсекать от окружности две дуги. Как градусная мера угла связана с градусными мерами этих дуг?

Подсказка 6

Такой угол равен полуразности большей и меньшей дуг, которые он отсекает. А значит, будет меньше угла ACB, где C — точка касания окружности и прямой. Осталось лишь найти величину отрезка OC.

Показать ответ и решение

Проведем через точки $A$ и $B$ окружность, касающуюся второй стороны угла. Если $C$ — точка касания, то угол $ACB$ равен половине дуги $AB.$ В противном случае угол $ACB$ равен полуразности дуги $AB$ и второй дуги, высекаемой углом $ACB$ — т. е. будет меньше.

$PIC$

Остается воспользоваться тем, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, откуда $√- OC = 5$ .

Ответ:

$√5$