.06 Жорданова нормальная форма.

1. Сначала вычисляем характеристический многочлен :

Таким образом, у нас есть два собственных значения - кратности 1 и - кратности 2.

Каждому из этих собственных значений соответствует сколько-то жордановых клеток с ним на диагонали. Наша дальнейшая цель - выяснить, сколько и какого размера будет жордановых клеток с нулём на диагонали, и сколько и какого размера будет жордановых клеток с двойкой на диагонали.

2. Жордановы клетки с 0 на диагонали. Напомним, что размер жордановой клетки с собственным значением на диагонали не может быть больше кратности этого собственного значения. В нашем случае кратность 0 как корня равна единице, а, значит, с 0 на диагонали могут быть только клетки размера 1. Нам нужно посчитать их количество по формуле

где , . Меньше, чем ранг упасть не может, где - размер матрицы, - кратность собственного значения. Следовательно, можно не вычислять, и тоже будет равен 2.

(На самом деле, и можно было не вычислять, поскольку последовательность рангов строго убывает, а ниже 2, как мы сказали, быть в данном случае не может. Поэтому уже должен был упасть относительно , а меньше 2 он быть не мог).

Так или иначе, будем иметь:

то есть у нас будет одна клетка размера 1 с нулём на диагонали.

3. Жордановы клетки с 2 на диагонали. Напомним, что размер жордановой клетки с собственным значением на диагонали не может быть больше кратности этого собственного значения. В нашем случае кратность 2 как корня равна двум, а, значит, с 2 на диагонали могут быть только клетки размера 1 или 2. Нам нужно посчитать их количество по формуле

Для этого вычислим последовательность рангов :

Далее, вспоминаем, что последовательность рангов строго убывает, и при этом ниже (размер матрицы минут кратность собственного значения 2) стать не может.

Поэтому автоматически . Тогда мы можем посчитать количество клеток:

Дальше считать нет смысла, поскольку у нас уже есть 1 жорданова клетка размера один с 0 на диагонали, и мы только что получили, что у нас будет две клетки размера один с 2 на диагонали. Таким образом, вся наша матрица заполнена. Вот как будет выглядеть её ЖНФ: