.06 Жорданова нормальная форма.

1. Сначала вычисляем характеристический многочлен :

(такой определитель мы посчитали, заметив, что при явном раскрытии по формуле определителя единственное нулевое слагаемое получится, если взять все диагональные элементы. Иначе мы не наберём 10 множителей из разных строк и столбцов, чтобы хотя бы один из них не был равен 0).

Но можно было понять, что у нашей матрицы только нулевое собственное значение и по-другому:

Наша матрица задаёт трёхкратное дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше 9.

Следовательно, , например, задаёт уже двенадцатикратное дифференцирование . Но 12-ая производная любого многочлена степени не выше 9 равна 0. Поэтому - это нулевая матрица. .

Тогда если - собственный вектор матрицы с собственным значением , то

Тогда для любого вектора , поскольку, как мы уже сказали, матрица - нулевая. С другой стороны, если применение к собственному вектору умножает его на собственное значение , то мы получим, что

Но поскольку был ненулевой, то обязательно тогда . Но а значит и . Следовательно, у нашей матрицы может быть только одно собственное значение - 0 кратности 10.

Итак, мы видим, что у нас получилось только одно собственное значение кратности, равной размеру матрицы. Следовательно, на диагонали у всех жордановых клеток в ЖНФ будет на диагонали стоять именно это собственное значение 0.

Осталось только понять, сколько клеток каждого размера у нас будет.

2. Вычислим последовательность рангов степеней . Пусть

Тогда: , , (поскольку задаёт шестикратное дифференцирование и, значит, не зануляет только ), (это ), - это мы уже обсуждали выше.

Таким образом, если - это количество жордановых клеток с 0 на диагонали, то: .

Давайте считать:

Таким образом, у нас будет две клетки размера три и одна клетка размера четыре с 0 на диагонали: ЖНФ получается вот такой: