Касательные к сфере (+ каркасный тетраэдр)

а) Пусть радиус сферы равен . Обозначим точки пересечения прямой со сферой через и (точка лежит на отрезке , а — вне него). Треугольники и прямоугольные (углы при вершинах прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе — общая), следовательно, (обозначим эти углы через ); высоты, опущенные из точек на гипотенузу , равны, а их основания — одна и та же точка , лежащая в плоскости (назовём эту плоскость . Пусть — касательная плоскость к сфере, проведённая через точку . Обозначим точку пересечения и через . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью

Из прямоугольного треугольника получаем . Тогда

Пусть площадь сечения пирамиды плоскостью равна , а плоскостью . Из подобия следует, что

Следовательно,

б) Если плоскости и параллельны, то точка совпадает с точкой такой, что

Тогда, обозначив площадь треугольника через , получаем