Касательные к сфере (+ каркасный тетраэдр)

Подсказка 1

Во-первых, нам надо понять, через что оценивать. Если у нас есть сфера, которая касается ребер, то это значит, что её сечения гранями - это вписанные в треугольники этих граней окружности. А это значит, что мы можем оценивать объем тетраэдра через маленькие тетраэдры OABC, OABD, OACD, OBCD , где О - центр сферы.

Подсказка 2

Понятно, что ситуация относительно каждого тетраэдра равноправна, потому, нам надо получить оценку только на 1 (то есть, если мы получили какую-то оценку на один маленький тетраэдр, то сможем получить эту же оценку и на другие). Возьмем тогда тетраэдр OABC. Если центр вписанной окружности - это I, то объём OABC равен 1/3 * OI * S(ABC). Как нам тогда связать периметр и объем?

Подсказка 3

Верно, нам надо выразить площадь треугольника как p_abc*r (p_abc - полупериметр). Тогда у нас в силу равнозначности тетраэдров и равнозначности сторон треугольника здесь, при суммировании объемов будет один и тот же коэффициент при каждом ребре тетраэдра и значит, мы выразим площадь. Остается связать r*OI(то, что вылезает при подсчете объема) и R(R - радиус сферы). Как связаны эти три отрезка?

Подсказка 4

Они образуют прямоугольный треугольник. При этом, OI^2 + r^2 = R^2. Значит, у нас есть у нас есть факт, что сумма квадратов OI и r равна квадрату R, а мы хотим оценить произведение. Что нам это должно напомнит?

Подсказка 5

Конечно, неравенство о среднем квадратичном и геометрическом. Тогда, произведение OI*r оценивается сверху как R^2/2. Осталось только сложить все неравенства(ведь мы это проделали только относительно одной грани) и получить требуемое.