Касательные к сфере (+ каркасный тетраэдр)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.
Источники:
Подсказка 1
Построим чертёж! Проведите перпендикуляры из центра сферы к параллельным между собой боковым рёбрам (в точки касания). Что можно сказать о фигуре, образованной диагональю ромба, частями этих рёбер и проведёнными перпендикулярами?
Подсказка 2
Теперь мы знаем диагональ ромба! Это позволяет нам полностью обсчитать ромб, найти его углы/высоту/площадь и всё что нам нужно!
Подсказка 3
Спроецируем радиус сферы, проведённый в точку касания её с ребром верхнего основания, на плоскость основания. Эта проекция — половина высоты ромба.
Подсказка 4
Работа с теоремой Пифагора поможет нам отыскать оставшуюся часть высоты призмы. Осталось подставить числа в формулу и записать ответ.
Пусть дана призма 
— центр данной сферы, которая касается боковых рёбер 
и 
в точках 
и
Заметим, что 
и 
следовательно 
А раз 
и все четыре точки 
лежат в
одной плоскости, то 
и 
— прямоугольник, значит, 
при этом 
как диаметр данной
сферы.
Рассмотрим треугольник 
и найдём высоту 
По формуле Герона 
тогда
Проецируем 
на нижнее основание, обозначим проекцию на 
она будет являться серединой 
Пусть 
— точка касания сферы
с 
а 
— её проекция на нижнее основание.
Раз 
, то в силу ТТП и свойств проекции 
Тогда 
— средняя линия в треугольнике 
следовательно
Рассмотрим прямоугольную трапецию 
в ней 
и 
Пусть 
тогда по теореме
Пифагора
Теперь зная это, посчитаем объём призмы
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
