Тема Логарифмы

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104126Максимум баллов за задание: 7

Найдите область определения функции

3-− 2x−-x2 y = lg 1− x2 .

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.2 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а когда у нас вообще определено это выражения? Какие есть ограничения на логарифм?

Подсказка 2

Верно, выражение под логарифмом положительно! Осталось только решить неравенство, но не забудьте, что знаменатель исходной дроби не может быть равен нулю!

Показать ответ и решение

3−-2x-− x2 1− x2 >0

(x− 1)(x+ 3) (x−-1)(x+-1) >0

По методу интервалов

x∈(−∞; −3)∪(−1;1)∪ (1;+∞ )

Ответ:

$(−∞;− 3)∪(−1;1)∪ (1;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130311Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘---(-√-)------------ (x) log22 x 2 − 3log4x6+ 13> log2 2

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие преобразования полезно делать в логарифмических неравенствах?

Подсказка 2

Воспользуйтесь свойствами таким образом, чтобы у всех логарифмов основание стало равно 2, а аргумент – х.

Подсказка 3

После преобразований становится очевидна правильная замена! Теперь у нас есть довольно простое неравенство, которое сразу хочется возвести в квадрат. Но будьте осторожны – не забывайте, что неравенство можно возводить в квадрат, только если Вы уверены, что обе его части неотрицательны!

Подсказка 4

С левой частью все понятно – она всегда неотрицательна на ОДЗ, а вот с правой частью нужно рассмотреть два разных случая. После рассмотрения двух случаев объедините полученные решения, вернитесь к исходной переменной и не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2( √2) 6 { log2 x − 3log4x + 13≥0 |( x> 0

На ОДЗ верны преобразования:

( ) log22 x√2 − 3log4x6+ 13 =2log22x− 9 log2x+ 13

log (x) =log x− 1 2 2 2

Сделаем замену $t= log x, 2$ тогда неравенство примет вид:

∘ -2-------- 2t− 9t+13 >t− 1

Если $t− 1< 0,$ то неравенство выполнено на ОДЗ, то есть все $t< 1$ нам подходят. Если же $t− 1≥0,$ возведем неравенство в квадрат и получим:

2t2 − 9t+ 13 >t2− 2t+ 1

t2 − 7t+ 12 >0

Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда $t− 1≥ 0,$ получаем:

t∈[1;3)∪ (4;+∞ )

Объединяем со случаем $t− 1 <0:$

t∈(−∞;3)∪ (4;+∞ )

Заметим, что неравенство $2t2− 9t+ 13≥ 0$ верно при любом действительном $t,$ так что первое условие из ОДЗ выполнено автоматически. Вернёмся к исходной переменной:

⌊ log x< 3 ⌈ 2 log2 x> 4

⌊ ⌈ x< 8 x> 16

С учётом ОДЗ получаем ответ:

x∈ (0;8)∪(16;+ ∞)

Ответ:

$(0;8)∪ (16;+∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89106Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(2 ) log0,5x +2x− 8 ≥− 4

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 x + 2x − 8 >0

(x+ 4)(x− 2)> 0

x∈ (− ∞;−4)∪(2;+∞)

Теперь преобразуем наше исходное неравенство

− log2(x2+2x− 8)≥ −4

log2(x2 +2x− 8)≤ 4

x2 +2x− 8≤ 16

(x+ 6)(x− 4)≤ 0

x∈ [−6;4]

Пересечём с ОДЗ и получим итоговый ответ — $[− 6;−4)∪ (2;4].$

Ответ:

$[−6;− 4)∪(2;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91146Максимум баллов за задание: 7

Какое из двух чисел больше: $√2-$ или $912 log3(1+ 19)?$

Показать ответ и решение

Применим свойство степеней и основное логарифмическое тождество:

√ - log 10 √ - 10 100- 2?3 39 ⇔ 2? 9 ⇔ 2> 81

Ответ:

$√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64112Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log1+|7x+17|(|3x+ 8|+ |7x +17|)≤ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём с ОДЗ: выпишите и решите все ограничения. Также обратите внимание, какие значения может принимать основание логарифма?

Подсказка 2

Какое равносильное преобразование мы можем сделать, чтобы избавиться от логарифма? Сделайте его!

Подсказка 3

Основание логарифма точно больше 1, так что переход к неравенству на аргументы будет равносильным. Осталось решить обычное неравенство с модулем и записать ответ!

Показать ответ и решение

Неравенство эквивалентно

log1+|7x+17|(|3x+ 8|+ |7x+ 17|)≤ log1+|7x+17|(1+ |7x +17|)

Заметим, что основание логарифма на ОДЗ больше единицы, отсюда неравенство равносильно системе

{ 1+ |7x+ 17|⁄=1 0< |3x +8|+ |7x+ 17|≤ 1+ |7x+ 17|

{ 7x+ 17⁄= 0 −1 ≤3x+ 8≤ 1

{ x ⁄=− 177- −3 ≤x ≤− 73

Учтём, что $− 177-<− 73 ⇐⇒ −51< −49,$ и напишем ответ.

Ответ:

$[−3;− 17)∪(− 17;− 7] 7 7 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64603Максимум баллов за задание: 7

Какое из двух чисел больше:

∘ 3- 1 1 2 или 92log3(1+9)?

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство

∘ 3- 10 ∘ 3- 10 3 100 2 ?3log39 ⇔ 2 ? 9-⇔ 2 > 81

Ответ:

$∘ 3 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90039Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log √x x 3 > 9.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 231, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте подумаем, что можно сделать? Как можно изменить неравенство? Может быть что-то сделать с основанием х?

Подсказка 2:

Пусть t равен логарифму по основанию 3 от х. Тогда можем заменить x в основании на 3^t, а степень на t/2. Что теперь можно сделать?

Подсказка 3:

Применим метод рационализации, представим 9 справа как 3². Тогда получим t² > 4. Найдём t и сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения:

x> 0

Прологарифмируем неравенство

log xlog3√x-> log 9 ⇐⇒ log √x ⋅logx > 2 3 3 3 3

2log3√x-⋅log3−4> 0 ⇐⇒ log23x− 4> 0

( ) (log3x− 2)(log3x+ 2)> 0 =⇒ (x− 9) x − 1 > 0 9

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем, что

( ) x∈ 0;1 ∪ (9;+∞ ) 9

Ответ:

$x ∈(0;1) ∪(9;+ ∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31427Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3 2 2 4 logx16+2 logx16 +4logx 16 ≥ 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что очень часто повторяется log_x(16). Это знак для того, чтобы сделать замену, но перед этим правильно вынести степень из аргументов логарифмов.

Подсказка 2

Да, степень в аргументе вторая, но и сам логарифм во второй степени -> значит, вынесется четверка. Действуя так, а затем сделав замену логарифма на t, заметим, что t выносится за скобки, а в скобках хорошее выражение :)

Подсказка 3

Заметим, что это выражение не меньше нуля в двух случаях: или скобка в квадрате дает ноль, или она больше нуля, тогда на нее можно разделить обе части неравенства.

Показать ответ и решение

Пусть $t= log 16 x$ . Тогда по свойству логарифмов получаем неравенство

3 2 2 t+ 2⋅(2t) +4 ⋅4t≥ 0 ⇔ t(t+4) ≥ 0

Значит, либо $t=− 4$ и $x= 1 2$ , либо $t≥0$ и $x >1$ .

Ответ:

${1}∪ (1;+∞ ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90038Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 3) logx x + 2 ≤ 4logx2+32(x).

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что аргумент одного логарифма равен основанию другого, как в таком случае мы можем сделать логарифмы одинаковыми?

Подсказка 2

Можно заменить логарифм справа на t, тогда слева будет 1/t! Данное неравенство относительно t легко решается методом интервалов

Подсказка 3

После обратной замены можно заметить, что основание логарифма больше единицы, поэтому от сравнения логарифмов (все числа представляем в виде логарифмов по основанию х² + 1,5) можно перейти к сравнению их аргументов без смены знака. Таким образом получаем дробно-рациональные неравенства относительно х, решаем их, пересекаем с ОДЗ и получаем ответ)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| x> 0 ||||| 2 3 { x + 2 > 0 ⇐⇒ x∈ (0;+∞ ) {1} |||| x⁄= 1 ||( x2+ 3⁄= 1 2

Сделаем замену

( ) t= log 2 3x =⇒ logx x2+ 3 = 1,t⁄= 0 x+ 2 2 t

Тогда получаем

1 4t2− 1 t ≤ 4t =⇒ t ≥ 0

(2t− 1)(2t+ 1) -----t-----≥ 0

Решая методом интервалов последнее неравенство получаем, что

[ ) [ ) t∈ − 1;0 ∪ 1;∞ 2 2

Сделаем обратную замену.

⌊ − 1 ≤log 2 3x <0 || 2 x +2 ⌈ log 3x≥ 1 x2+ 2 2

Из второго неравенства получаем, что

∘ ----3 3 x ≥ x2+ 2 =⇒ x2 ≥x2+ 2 -неверное неравенство

Рассмотрим первое неравенство:

( ( ||{ logx2+32 x ≥− 12 |{ x≥ ∘--1--- || =⇒ |( x2+ 32 ( logx2+32 x <0 x< 1

( 3 ( ||{ x4+-2x2−-1≥ 0 ||{ 2x4+-3x2-− 2 ≥0 | x2 + 32 =⇒ | 2x2+ 3 |( x< 1 |( x< 1

( ||{ (x2+-2)(2x2− 1)≥ 0 | 2x2+3 |( x <1

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

( √-] [√ - ) x∈ −∞;− -2- ∪ --2;∞ 2 2

Объединяя с ОДЗ, получаем

[√- ) x∈ -2;1 2

Ответ:

$x ∈[√2;1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90123Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log2log4x +log4log2x ≤− 4.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x> 0 { log x> 0 ⇔ x > 1 |( 2 log4x> 0

Решим неравенство на ОДЗ. Так как $log logx =log (1log x)= log 1+ log log x 2 4 2 2 2 22 2 2$ ; $log log x= 1log log x 4 2 2 2 2$ , то сделав замену $log log x= t 2 2$ , неравенство сведется к виду

1 −1+ t+ 2t≤− 4 ⇔ t≤ −2

Сделаем обратную замену:

1 4√- log2(log2x)≤ −2 ⇒ log2 x≤ 4 ⇒ x≤ 2

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ:

√- x∈(1; 42]

Ответ:

$(1; 4√2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90124Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log7x− log37⋅log3x> log20,25.

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства: $x >0$ . Решим неравенство на ОДЗ. По формуле $log c= log b⋅log c a a b$ получаем:

log3 ⋅log x− log 7⋅log x> −2⇒ 7 3 3 3 log3x ⋅(log73− log37)> −2

Так как $log73 − log37 <0$ (первый логарифм меньше 1, второй - больше 1), то разделим неравенство на это выражение и сменим знак неравенства:

−2 ---2---- log3x < log73−-log37 ⇒ x< 3log37−log73

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ:

( ) x ∈ 0;32∕(log37−log73) .

Ответ:

$(0;32∕(log37−log73))$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90125Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√- √- log 3(x+ 1)− log 3(x− 1)>log34.

Показать ответ и решение

Неравенство можно переписать так:

√-x-+1 √- x-+1 −x+-3 log 3x − 1 >log 32⇔ x − 1 >2 ⇔ x− 1 >0 ⇔ x∈ (1,3)

Осталось проверить ОДЗ ( $x> 1$ ).

Ответ:

$(1;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90126Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log x − log x x 2 + 16x 2 < 17.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену $t= xlog2x =2log22x > 0.$ Тогда

16 t+ t < 17

t2− 17t+ 16 -----t----< 0

[ t< 0 1< t< 16

Так как из-за замены $t> 0,$ то неравенство $t <0$ не имеет решений. Делаем обратную замену:

2 1< 2log2x <16

20 <2log22x < 24

0 <log22x< 4

log2x ∈(−2,0)∪(0,2)

x ∈(0,25;1)∪ (1;4)

Ответ:

$(0,25;1)∪ (1;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90549Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) log|x+6|2⋅log2 x − x− 2 ≥ 1

Показать ответ и решение

Рассмотрим 2 случая:

I)

$|x+6|> 1⇐⇒ x∈(−∞, −7)∪(−5,+∞)$ , тогда из исходного неравенства получим:

log2(x2− x− 2)≥ log2(|x+ 6|)⇐⇒ x2 − x − 2≥ |x +6|

Далее при $x <− 7$ : $x2 +4≥ 0$ – подходят все, $x> −5$ : $x2− 2x − 8≥ 0=⇒ x ∈(−∞,− 2]∪ [4,+∞ )$ , то есть в итоге в этом случае $x∈(−∞, −7)∪(−5,−2]∪ [4,+∞ )$

II)

$|x+6|< 1⇐⇒ x∈(−7,−6)∪(−6,−5)$ с учётом ОДЗ, откуда имеем:

2 2 log2(x − x− 2)≤ log2(|x+ 6|)⇐⇒ x − x − 2≤ |x +6|

Заметим, что $( )2 x2 − x− 2= x− 12 − 94 > 25− 94 > 1> |x+ 6|$ на выбранном множестве, то есть в этом случае решений нет.

Ответ:

$(−∞;− 7)∪(−5;− 2]∪ [4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91968Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ -log x (3 x) 2 ≥ 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$

Если $x≥ 1$ , то $√ -log2x 0 (3 x) ≥ 3$ .

Если $x< 1$ , то степень отрицательная и $√- 3 x≤ 1$ . Значит, $( 1] x∈ 0,9$

Ответ:

$(0;1]∪[1;+ ∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92044Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2 ) 2 log3 2x − x − 1≤ log3(6x− 3)− log3x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ , $2x− 1 >0$

Значит,

( 2 ) 2 2 log3 2x − x − 1= log3(2x − 1)+ log3x− 1≤ log3(6x− 3)− log3 x= log3(2x− 1)− log3x +1

2 log3x− 1≤ − log3x +1

Пусть $t=logx 3$ . Тогда

2 t − t− 2= (t− 2)(t+ 1) ≤0

Значит, $x∈ [13;9]$ , но по ОДЗ $2x− 1 >0$ . Отсюда $x∈(12;9].$

Ответ:

$(1;9] 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#92053Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(16 2) log10−x2 5 x− x < 1

Показать ответ и решение

Если $2 x <9$ , то $2 10− x > 1$ и $(16 2) 2 5 x− x < 10− x$ . Значит, $25 x< 8$ .
Если $2 10 >x > 9$ , то $2 10− x < 1$ и $(16- 2) 2 5 x − x > 10− x$ . Значит, $25- x > 8$ .

По ОДЗ: $x2 <10$ , $x2 ⁄= 9$ и $16x − x2 =x(16− x)>0 5 5$ .

Из последнего следует, что $x ∈(0;16 5$ ). Так как $16->√10- 5$ ( $322-= 1024> 10 100 100$ ), то итоговое ОДЗ: $x∈ (0;√10)∖{3}$ .

Если совместить это с перебором случаев, то получится $(25 √--) x∈ (0;3)∪ 8 ; 10 .$

Ответ:

$(0;3)∪ (25;√10) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126625Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

x x+1 ∘ ---x-----x---2x+3- 3 − 2 ≤ 2⋅9 − 10⋅6 + 2

Показать ответ и решение

Неравенство определено, когда подкоренное выражение неотрицательно:

x x 2x+3 2⋅9 − 10 ⋅6 + 2 ≥0

Делаем замену $t= (3∕2)x > 0$ :

2t2− 10t+ 8≥ 0

t∈(0,1]∪[4,+ ∞ )

Возвращаемся к исходной переменной:

[ ) x ∈(−∞,0]∪ log3∕22,+∞

Преобразуем исходное уравнение в равносильную совокупность

∘ ----------------- 2⋅9x − 10⋅6x+ 22x+3 ≥ 3x− 2x+1

⌊ ( x x 2x+3 x x+1 2 | { 2⋅9 − 10⋅6 + 2 ≥ (3 − 2 ) ||| ( 3x− 2x+1 ≥ 0 ⌈ x x+1 3 − 2 < 0

Раскроем скобки и приведем подобные

⌊ ({ x x x || 9 − 6⋅6 + 4⋅4 ≥ 0 || ( x≥ log3∕22 ⌈ x <log3∕22

⌊ (|{ x ∈(−∞; log --4√-]∪ [log --4√-;+∞ ) || 3∕23+ 5 3∕23− 5 || |( x ≥log3∕22 ⌈ x< log3∕22

С учетом ОДЗ получаем ответ

[ ) x∈(−∞; 0]∪ log3∕2--4√--;+ ∞ 3 − 5

Ответ:

$(−∞; 0]∪ [log ---4√--;+ ∞) 3∕23 − 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80650Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log2x log x 2 2 +7x 2 < 16

Источники: ДВИ - 2019, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как мы можем упростить неравенство? Хотелось бы, конечно, чтобы остались одинаковые основания. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Представим x как 2 в степени логарифма по основанию 2 от x. Тогда первое и второе слагаемые станут одинаковыми, за исключением коэффициентов! Что дальше сделаем?

Подсказка 3

Применим метод рационализации, получим log²₂x < 1. Решим относительно логарифма и придём к ответу.

Показать ответ и решение

log2x log x 2 2 +7x 2 < 16

2log22x+ 7⋅2log22x <16

2log22x <2

log22x< 1

−1< log2x <1

12 <x <2

Ответ:

$1 < x< 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#92040Максимум баллов за задание: 7

Докажите неравенство

log20151+-log20152+-...+-log20152016- log20152017 > 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Искать по формулам сумму такого количества логарифмов сложно, а еще непонятно, к чему это приведет. Давайте избавимся от дробной части, домножив с обеих сторон на 2016.

Подсказка 2

Сколько слагаемых справа? Слева мы один логарифм умножаем на 2016...

Подсказка 3

Сравним каждое слагаемое справа с log₂₀₁₅(2017). Что будет больше?

Показать доказательство

Первое решение.

Так как

log20152017> log20152016> ...> log20151,

то

2016log20152017 >log20152016+ ...+ log20151

log 2017 > log20151+-log20152+-...+-log20152016- 2015 2016

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

После умножения обеих частей на 2016 и применения свойств логарифмов, получаем, что нам достаточно доказать неравенство

2016 log20152017 > log2015(1⋅2⋅...⋅2016)

Указанное неравенство следует из того, что $20172016 > 1⋅2⋅...⋅2016$ , а последнее получается перемножением 2016 неравенств $2017> 1,2017 >2,...,2017> 2016.$

Замечание. Можно получить и более сильную оценку, применим неравенство о средних:

2016√----------- 1+-...+2016 2017 1⋅2⋅...⋅2016≤ 2016 = 2 < 2017