.08 Кратные интегралы (двойные, тройные) Римана.

Наша область - это то, что находится между красным конусом и синей плоскостью:

Разумеется, свести такой тройной интеграл к трем повторным можно и так.

Но вот проблема вся в том, что потом будет очень трудно интегрировать нашу конкретную функцию . Поэтому мы будем пользоваться данным нам в условии указанием.

Итак, цилиндрическая замена задается такими функциями:

Якобиан такой замены будет

Но поскольку , то .

При такой цилиндрической замене чтобы получилась область , переменные должны изменяться в пределах

(обращаем внимание, что изменяется от до 1, то есть пределы изменения будут зависеть от и при каждом будут разные.)

Кроме того, при такой замене . Поэтому по формуле замены переменной в кратном интеграле, имеем:

Где .

Но тогда

И интеграл по уже легко расписывается по теореме Фубини: