.26 Формула Грина. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса.

Пусть - область, ограниченная поверхностью , то есть

Далее, Тогда по формуле Остроградского-Гаусса:

И осталось лишь вычислить этот последний поверхностный интеграл. .

Сделаем замену переменных для более удобного применения теоремы Фубини: . Тогда Якобиан такой замены: считать не очень-то удобно, поскольку у нас не выражены через , а наоборот, выражены новые координаты через старые.

Тогда посчитаем Якобиан обратной замены

Следовательно, якобиан нашей замены равен . Таким образом, исходный интеграл преобразуется как

Где . В силу симметричности области, достаточно проинтегрировать лишь по тому куску области , который лежит в первом октанте, то есть где , то есть по множеству , а затем умножить полученный интеграл на 8, поскольку по остальным октантам интеграл будет такой же (это следует из того, что все переменные в уравнении области стоят под модулем).

Таким образом

Дальше работает теорема Фубини: