Счёт в синусах и просто теорема синусов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— высоты остроугольного треугольника 
. Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах
треугольников 
, 
равен треугольнику 
.
Подсказка 1
Конструкция громоздкая! Если нарисовать треугольник с вершинами в ортоцентрах, то увидеть что-то будет проблемно. Так как тогда стоит переформулировать условие? Если мы хотим доказать, что треугольники равны, то явно не с помощью углов – углы треугольника с вершинами в ортоцентрах неудобно “летают в воздухе”. Тогда можно доказать равенство трёх сторон! При аккуратном построении картинки можно даже догадаться каких, а учитывая некую симметрию в нашей картинки при поворотах треугольника, можно в целом сказать, что мы лишь хотим равенства двух отрезков!
Подсказка 2
Проведите те самые отрезки, равенство которых мы хотим – если мы знаем, что они равны, то образуется приятный параллелограммчик. Параллельность двух других сторон в нём мы и так знаем, а значит остаётся доказать их равенство – и вот они уже не выглядят “висящими в воздухе”! Так, мы что-то много думали – пора считать! Как это и бывает часто полезно, введём все углы искомого треугольника и радиус его описанной окружности – через них и посчитаем искомые два отрезка
Подсказка 3
Попробуем каждый из этих отрезков “перенести” на части сторон искомого треугольника: свяжите их с помощью теоремы синусов в треугольниках, где они лежат вместе! Это и поможет нам выразить всё через введённые переменные! Ведь теперь нам нужно лишь перенести углы из этого треугольника в более удобное место (куча вписанностей поможет) + выразить отрезок на стороне треугольника (а это мы легко умеем!), и задача будет убита
Кстати, искомые отрезки – это расстояния от вершин до ортоцентра в соответствующих треугольниках, а такие расстояния связаны изящно с противоположной стороной через котангенс угла. Можно с помощью этой связи раскрутить счёт побыстрее!)
Пусть 
— ортоцентры треугольников 
, 
соответственно. Докажем равенство 
, откуда
аналогично последуют равенства 
и 
, поскольку все обозначения в задаче симметричны, и искомые
треугольники окажутся равны по трём сторонам.
Прямые 
и 
перпендикулярны 
, поэтому 
. Докажем, что 
, откуда последует, что
параллелограмм, и 
окажется равен 
.
Вычислим отрезок 
. Пусть 
. 
— радиус описанной окружности треугольника 
.
Поскольку четырёхугольник 
вписан (
— диаметр, на который опираются равные углы по 
), то 
и
. Аналогично 
.
Первое решение.
В остроугольном треугольнике расстояние от вершины до ортоцентра равно произведению котангенса угла при этой вершине на длину
противоположной стороны. То есть 
По тем же причинам 
Второе решение.
Поскольку 
и 
, то 
и 
. По теореме синусов в треугольнике 
имеем
Поскольку это выражение симметрично относительно 
и 
, то и отрезок 
равен тому же (
станет им, если поменять
вершины 
и 
местами).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
