Счёт в синусах и просто теорема синусов

Пусть — радиус окружности, — точка пересечения с — точка пересечения и Соединим центр окружности с точками и Тогда Пусть

Так как точка симметрична точке относительно прямой а, значит, и относительно диаметра принадлежащего прямой то

Тогда (теорема о внешнем угле треугольника Поэтому из теоремы синусов для треугольника имеем

Так как (как вертикальные), то Кроме того, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и, следовательно, Из теоремы синусов для треугольника получаем

Учитывая находим что и означает независимость точки от выбора секущей. Заметим, что расположение точек и не влияет на решение.

а) Докажем, что в общем случае это неверно. В условии не указаны стороны, на которые опускаются высоты и а значит, возможны два варианта: либо точки и лежат соответственно на сторонах и либо соответственно на сторонах и Приведём пример параллелограмма для второго случая, в котором утверждение задачи неверно — пусть Тогда вершина совпадает с точками и а точка является серединой Очевидно, что тогда угол между и равен и они не перпендикулярны.

Замечание. В случае, когда высоты и опущены на стороны и действительно, всегда будет перпендикулярность между прямыми и

б) Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Подставляя известные значения и получаем:

Заменяя и подставляя все в выражение тригонометрического тождества, получаем уравнение:

Полученное квадратное уравнение на не имеет решений, так как его дискриминант меньше нуля. Значит, этот случай невозможен.

Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Таким образом,

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Подставляя находим:

Поскольку четырёхугольники вписанные, то

Так как

то точки и лежат по разные стороны от прямой В частности, мы показали, что точка лежит строго внутри треугольника

Тогда

поэтому четырёхугольник также является вписанным.

Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пусть точка отличная от на отрезке такова, что Тогда поскольку треугольник равнобедренный, Заметим, что

Значит, откуда следует (вне зависимости от порядка расположения точек и на отрезке ), что точки и лежат на одной окружности. Следовательно,

Поэтому треугольник равнобедренный и Получаем, что треугольник составлен из отрезков и равных и соответственно, что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ. Пусть точки симметричны точкам и относительно середин и сторон и соответственно

Поскольку — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, Тогда из четырёхугольников находим

Не ограничивая общности, предположим, что лежит на отрезке Поскольку точка лежит на отрезке Получаем, что

Следовательно, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (на самом деле, мы показали, что они совмещаются поворотом с центром в точке на угол Тогда Поскольку из симметрии, получаем, что треугольник составлен из отрезков, равных и что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третий способ. По теореме синусов радиус окружности, описанной около равен а радиус окружности, описанной около равен Поскольку получаем, что радиусы этих двух окружностей равны. Проводя аналогичное рассуждение для четырёхугольников и получаем, что радиусы окружностей, описанных около всех трёх четырёхугольников и равны. Обозначим эти окружности соответственно

Для того чтобы показать, что из отрезков можно сложить треугольник, достаточно проверить, что вписанные углы, опирающиеся на эти отрезки в окружностях соответственно, в сумме дают

Убедимся в этом. Заметим, что

Таким образом,

что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Отметим, что во всех трёх способах решения неявно предполагается, что точки и отличны от Тем не менее все три рассуждения можно уточнить и в противном случае. Например, если точка совпадёт с точкой то утверждение о вписанности четырёхугольника из решения нужно заменить на утверждение о касании описанной окружности треугольника стороны в точке

Первое решение.

Решим задачу в общем случае. Обозначим четырехугольник Пусть В такой конфигурации угол между сторонами и равен Угол как противолежащий.

Диагональ Из теоремы синусов для треугольника следует, что угол равен (угол острый, т.к. иначе и сумма углов треугольника будет больше ). Значит, угол равен Площадь четырехугольника можно вычислить, как сумму площадей треугольников и

Возможна другая конфигурация: В этом случае четырехугольник — равнобочная трапеция с углом при основании

Тогда высота и площадь трапеции равна

Оба варианта одинаковые, при подставновки ответ равен

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Соединим вершины четырехугольника с центром окружности.

Получается, что четырехугольник составлен из двух правильных треугольников со стороной 3, площадь каждого одного прямоугольного треугольника с катетами 3, 3 и гипотенузой площадь одного равнобедренного треугольника со сторонами 3 и 3 и углом между ними площадь равна

Суммарная площадь одинакова вне зависимости от того, в каком порядке они расположены, и равна

Первое решение

Построим серединный перпендикуляр к отрезку обозначим за и точки его пересечения со сторонами и соответственно.

Треугольник — равнобедренный с углами при основании поэтому отрезки и равны как его боковые стороны.

В треугольнике

Кроме того,

Следовательно, треугольник — равнобедренный с боковыми сторонами и Получаем, что Теперь посмотрим на равнобедренный треугольник с Следовательно,

Заметим, что

Тогда — биссектриса угла

Треугольники и равны по общей стороне и по 2 углам Тогда

Получаем, что

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

Повернём треугольник вокруг точки по часовой стрелке на чтобы сторона совместилась со стороной Образ точки при этом повороте обозначим за Затем зеркально отразим треугольник относительно стороны образ точки при этом отражении обозначим за

Тогда четырехугольник является прямоугольником и

В треугольнике по построению а также

Следовательно, треугольник — равнобедренный с углом при вершине, а значит, он является равносторонним. Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение

По теореме синусов для треугольника

По теореме синусов для треугольника

Тогда

Во-первых, по условию, (как односторонние углы в трапеции), поэтому четырёхугольник — вписанный. Во-вторых, заметим, что точка определена не однозначно: она может оказаться как на продолжении луча за точку так и на отрезке

Первый случай:

Поймём, что все пять отмеченных на рисунке угла равны: по условию, как накрест лежащий, так как биссектриса. Из равенства получаем, что точка лежит на той же окружности, что и точки и Отсюда как опираюущийся на ту же дуту.

Кроме того, из равенства указанных выше углов также следует, что

Способ Теорема синусов:

Запишем три теоремы синусов. Для треугольника

Для треугольника

Для треугольника

Заметим, что

поэтому наконец, поэтому их синусы также равны.

Значит, произведение правых частей в теоремах синусов равно единице, поэтому

Отсюда

Способ Теорема Птолемея.

По теореме Птолемея для четырёхугольника

Поскольку получаем

По основному свойству биссектрисы для треугольника

Поэтому

Второй случай:

Поскольку мы будем пользоваться свойствами точки из первого случая, лежащую на отрезке «версию» точки назовём Углы и опираются на одну дугу, поэтому равны, то есть вертикальные, поэтому треугольники и подобны,

Значит,

Из того же самого подобия получаем

Теперь заметим, что треугольник подобен треугольнику по двум углам, откуда

Следовательно,

Пусть для определенности углы — острые, обозначим . Так как — высота, то Пусть — середины соответственно.

Первое решение.

Отметим точку пересечения серединных перпендикуляров и к сторонам треугольника . Эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Заметим, что угол вдвое меньше центрального угла поэтому равен вписанному углу то есть При этом из вписанности четырёхугольника (два прямых угла дают вписанность). Тогда обратим внимание, что касается описанной окружности треугольника , так как угол между ней и хордой равен углу опирающемуся на эту хорду. По теореме о касательной и секущей получаем

Второе решение.

Не будем думать и посчитаем в синусах: из прямоугольных треугольников

Тогда получается

Наконец, по теореме синусов радиус описанной окружности равен

Не нарушая общности, точка принадлежит окружности радиуса назовём её а точка принадлежит окружности радиуса назовём её

Пусть Тогда на дугу в опирается вписанный угол поэтому аналогично

По теореме синусов имеем

что не зависит от положения окружностей.

Обозначим центры окружностей как и соответственно.

Тогда .

Треугольники и равнобедренные, пусть и

Тогда по свойству внешнего угла треугольника

По теореме синусов в треугольнике получаем

По теореме синусов в треугольнике получаем

Теперь применим теорему синусов к треугольнику обозначив искомый радиус описанной около него окружности за

Следовательно

Пусть и — центры и их радиусы — и а точки касания с — и Из вписанных четырёхугольников и имеем:

Значит, прямоугольные треугольники и подобны c коэффициентом

Пусть и Прямые и касаются и откуда:

(Возможно, что точка или совпала с или или лежит внутри треугольника или Чтобы убрать привязку к конкретным случаям, можно использовать направленные углы)

В окружностях и длины хорд и равны соответственно:

Напишем теорему синусов для треугольника

Наконец, собирая все полученные равенства:

получаем требуемое.

Первое решение.

из треугольника из треугольника из вписанности четырёхугольника

По теореме синусов для треугольника

По теореме синусов для треугольника

Наконец, применяя теорему синусов для :

Подставляем в последнюю пропорцию выражения для и , которые получили выше:

Отсюда видно, что подходит, т.к. , а из

понятно, что этот угол определяется однозначно (он лежит в интервале от до , и мы знаем численное значение его котангенса).

Таким образом, можно выразить радиус окружности из треугольника

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Посчитаем углы:

Отметим на такую точку что

Тогда то есть откуда А то есть откуда Значит, треугольник равнобедренный, а так как то ещё и равносторонний, то есть

Итак, мы получили, что

откуда точка является центром окружности, описанной около треугольника Отсюда искомый радиус равен 1.

Проведём через точку прямую, перпендикулярную Пусть она пересекает стороны угла в точках и причем точки и лежат на одной стороне угла, точки и — на другой.

Обозначим за По условию Тогда

Рассмотрим треугольник По теореме синусов

В треугольнике по теореме синусов

Сумма смежных углов равна поэтому Тогда Тогда

Аналогично запишем отношение

Пусть По теореме Менелая для треугольника

Так как расположение точек и не зависит от выбора точек и то отношение фиксированно и зависит только от выбора точки Тогда и отношение фиксированно и не зависит от выбора точек и а значит, все прямые пересекают в точке для которой верно Тогда все прямые пересекаются в одной точке.

Первое решение.

Введём длины сторон, как — площадь, — полупериметр. Далее воспользуемся формулами откуда

Для углов известно зная это, распишем произведение

Осталось воспользоваться теоремой косинусов. Например, для угла имеем

То есть косинусы также рациональны, откуда следует рациональность произведения.

Второе решение.

а)

Мы знаем, что где — площадь треугольника, а — его полупериметр. С другой стороны, где — стороны треугольника. Тогда

Следовательно,

По формуле Герона

Тогда

Заметим, что здесь каждый из множителей рационален, а следовательно и отношение рационально.

б) Запишем теорему синусов:

Отсюда получаем

Пусть — точка пересечения биссектрис треугольника Рассмотрим треугольник и запишем для него теорему синусов:

Подставим распишем синус двойного угла и синус суммы, получим

Отсюда получаем

Аналогично

Заметим, что

Таким образом,

Тогда

По предыдущему пункту рационально, значит и рационально.

Докажем, что . Для этого положим , и воспользуемся теоремой синусов.

Имеем:

откуда

С учетом условия это означает, что . Равенству противоречит условие задачи.

Поэтому , откуда и

Теперь найдем периметр треугольника . Пусть окружность с центром касается стороны в точке , а продолжений сторон и - в точках и соответственно.

Тогда и

Пусть проекции на это , проекции на — . Тогда требуется показать

Пусть , . Тогда .

Заметим, что вписан в окружность с диаметром , поскольку в нём . Отсюда по теореме синусов

Далее можно сразу заметить симметричность обозначений, а можно повторить рассуждения для и вписанного .

Обозначим угол через , угол — через .

Из теоремы синусов для треугольника имеем , откуда . Поделив на и применив формулу синуса разности, получаем . Аналогично . Вспомнив, что , получаем уравнение

Предположим, что диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим треугольник В нем прямые и являются чевианами, пересекающимися в одной точке.

Тогда, согласно синусной теореме Чевы

Из теоремы синусов следует, что синусы двух углов в окружности относятся также, как и хорды, на которые они опираются. Заменим в выражении выше отношения синусов на отношения хорд:

что и требовалось доказать.

В обратную сторону утверждение доказывается с помощью обратной синусной теоремы Чевы. Снова выделим треугольник По условию и значит Согласно теореме, чевианы и пересекаются в одной точке.

Докажем для начала следующую лемму.

Лемма. — треугольник, — чевиана в нём. Тогда

Доказательство. Запишем теорему синусов для треугольников и

Теперь мы можем выразить отсюда и Подставим в наше равенство

Так как синусы смежных углов равны, то можем вынести общий множитель, а сумма отрезков станет равна Перепишем равенство в таком виде

Заменим левую часть по теореме синусов для треугольника

Теперь мы можем сократить на тем самым получая на самом деле теорему синусов для треугольника Лемма доказана.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть  – середина Применим лемму к треугольнику и чевиане а также к треугольнику и чевиане

Левая часть второго тождества вдвое большое левой части первого. Запишем, что правая часть второго тождества также вдвое больше правой части первого

Чтобы получить утверждение задачи, осталось поделить обе части на

Пусть Тогда, по теореме синусов Аналогично, Из треугольника угол между прямыми и составляет поэтому проекция на равна

по формуле косинуса суммы.

Аналогично, из треугольника можно найти угол между прямыми и и вычислить длину проекции на

Ясно, что длина проекции на равняется сумме длин проекций и на Нетрудно видеть, что первые слагаемые в выражениях длин проекций и сокращаются при сложении, и остается сумма

и это выражение зависит от элементов треугольника но не зависит от выбора точек и

Достаточно доказать, что биссектриса угла перпендикулярна прямой  – поскольку равнобедренный треугольник, перпендикулярна этой биссектрисе. Перпендикулярность равносильна тому, что или Рассмотрим треугольник . В нем Аналогично, Поэтому, исходная задача равносильна утверждению о том, что

Отметим, что оба угла меньше так как каждый является полуразностью двух дуг, про которые известно, что их полусумма меньше (на дуги и опираются углы остроугольного треугольника). Синус является инъективной функцией на отрезке и так как про углы известно, что они острые, достаточно лишь показать равенство их синусов: Для этого, применим теорему синусов к треугольникам и

Заметим, что все шесть отношений на самом деле равны так как удвоенному радиусу аналогично = удвоенному радиусу В частности, и, так как что и требовалось доказать.