Счёт в синусах и просто теорема синусов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан угол, равный 
. На его биссектрисе взята точка 
; 
и 
— проекции 
на стороны угла. На отрезке 
взята точка 
,
причём 
. Прямая, проходящая через 
перпендикулярно 
, пересекает стороны угла в точках 
и 
. Найдите площадь
треугольника 
.
Подсказка 1!
1) У нас в задаче опять обилие прямых углов! Знак того, что можно поискать вписаности!
Подсказка 2!
2) Верно, рассмотрим четырехугольники BAKP и KAMC. В них по два прямых угла, а это значит, что они вписанные, и можно написать несколько равенств углов. Хм, кажется, что у нас на картинке есть еще один приятный четырехугольник XPKM. Попробуем использовать свойства всех этих четырехугольников!
Подсказка 3!
3) Ага, нам нужно получить равенство углов BKA и CKA, а дальше площадь треугольника BCK вычислится сама собой, ведь мы знаем биссектрису (хм, только ли биссектрису...) и угол!
Точка 
лежит на биссектрисе угла 
, поэтому ясно, что 
и 
— вписанный
дельтоид, 
Рассмотрим два случая выбора точки 
на отрезке 
:
. Тогда 
. Тогда 
В случае 
рассуждение совпадает с точностью до переобозначений.
Заметим, что 
вписан, поскольку 
, отсюда 
.
Аналогично из 
получаем вписанность 
и равенство 
.
Итак, 
является биссектрисой и высотой 
, откуда он равнобедренный, его площадь 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
