Счёт в синусах и просто теорема синусов

Проведём через точку прямую, перпендикулярную Пусть она пересекает стороны угла в точках и причем точки и лежат на одной стороне угла, точки и — на другой.

Обозначим за По условию Тогда

Рассмотрим треугольник По теореме синусов

В треугольнике по теореме синусов

Сумма смежных углов равна поэтому Тогда Тогда

Аналогично запишем отношение

Пусть По теореме Менелая для треугольника

Так как расположение точек и не зависит от выбора точек и то отношение фиксированно и зависит только от выбора точки Тогда и отношение фиксированно и не зависит от выбора точек и а значит, все прямые пересекают в точке для которой верно Тогда все прямые пересекаются в одной точке.