Тема . Счётная планиметрия

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счётная планиметрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51009

Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC)  вписан в окружность. Прямая CD,  перпендикулярная AB,  пересекает окружность в точке P.  Касательная к окружности, проходящая через точку P,  пересекает прямую AB  в точке Q.  Найти длины отрезков PA  и P Q,  если                   ∘ 5-
AC =5,∠ABC = 2arccos 6.

Показать ответ и решение

Пусть K  — середина отрезка AC  , M  — точка пересечения AB  и PC  , ∠ABK  =∠CBK  = β,  где β = arccos∘ 5
         6  .

PIC

Тогда ∠ABC  =∠AP C =2β  (эти углы опираются на одну дугу), ∠ACP = ∠ABK  =β  (углы со взаимно перпендикулярными сторонами ), ∠AP Q =∠ACP = β  (угол между касательной и хордой),            π
∠PAQ = 2β + 2  (внешний угол в треугольнике AP M )  и поэтому        π
∠AQP  =-2 − 3β.  Применяя теорему синусов к треугольникам AP C  и APQ,  получаем:

        sinβ     5
AP = ACsin2β = 2cosβ

         (     )
PQ =AP sin(π2-+2β) = AP cos2β
       sin π2 − 3β     cos3β

     ∘ --     ∘ --
cosβ =  5,sinβ =  1
       6        6

         2      2
cos2β = 2cosβ − 1= 3

           (       )   1∘5-
cos3β = cosβ 4cos2β− 3 = 3 6

     ∘---
AP =   15-,PQ = 6
       2
Ответ:

 P A= ∘-15,PQ = 6
       2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!