Счёт в синусах и просто теорема синусов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выпуклый шестиугольник 
вписан в окружность. Докажите, что его диагонали 
, 
, 
пересекаются в одной точке
тогда и только тогда, когда
Подсказка 1
Здесь нам понадобится такое утверждение, как синусная теорема Чевы. Оно бывает полезно, когда речь идет о пересечении трех отрезков в одной точке, но при этом мы не имеем треугольника и/или оснований чевиан в нем, чтобы применить обычную теорему Чевы. А еще она работает в обе стороны:)
Подсказка 2
Синусная теорема Чевы это, конечно, хорошо, наверное даже мы можем применить ее для треугольника АСЕ (или ВDF). Но не хотелось бы такое огромное количество синусов оставлять, поэтому вспомним, что наши 6 точек лежат на одной окружности, а это кое-что значит для отношения синусов углов. На что его можно заменить?
Подсказка 3
Да, работает теорема синусов, и отношение синусов углов равно отношению хорд, которые стягивают дуги, на которые опираются эти углы.
Предположим, что диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим треугольник 
В нем прямые 
и 
являются чевианами, пересекающимися в одной точке.
Тогда, согласно синусной теореме Чевы
Из теоремы синусов следует, что синусы двух углов в окружности относятся также, как и хорды, на которые они опираются. Заменим в выражении выше отношения синусов на отношения хорд:
что и требовалось доказать.
В обратную сторону утверждение доказывается с помощью обратной синусной теоремы Чевы. Снова выделим треугольник 
По
условию 
и значит 
Согласно теореме, чевианы 
и 
пересекаются в
одной точке.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
