Счёт в синусах и просто теорема синусов

Подсказка 1

Одно из типичных доказательств для того, что три прямые пересекаются в одной точки, — пересечь две прямые, и показать что третья там же. Удобнее всего показывать, что АМ пересекает В₁С₁ там же, где и А₁I пересекает В₁С₁. То есть если X₁ = А₁I ∩ В₁С₁ и X₂ = АМ ∩ В₁С₁ , то хотим X₁ = X₂, самое простое — показать, что они делят В₁С₁ в одинаковом отношение. Попробуйте использовать теорему синусов, ведь на чертеже много равных отрезков, например, равенство радиусов, отрезков касательных и отрезков, на которые медиана делит сторону.

Подсказка 2

С₁X₁ лежит напротив ∠С₁IX₁, а чему он равен? Что мы знаем про углы между радиусом, проведённым в точку касания, и касательной? Тогда из трёх теорем синусов для △С₁IX₁, △В₁IX₁ и △АВС выразите отношение С₁X₁/X₁В₁ через что-то, что есть на чертеже с АМ и X₂ без А₁I и X₁.

Подсказка 3

Для △С₁IX₁ и △В₁IX₁ верно, что С₁I = В₁I. Также sin(∠С₁X₁I) = sin(180° - ∠С₁X₁I) = sin(∠B₁X₁I). Тогда, используя теорему синусов для △АВС, равенство ∠С = ∠B₁IX₁ и ∠B = ∠С₁IX₁, С₁X₁/X₁В₁ выражается через АВ и АС.

Подсказка 4

Для нахождения отношения С₁X₂/X₂В₁, используйте теоремы синусов для △АС₁X₂, △АВ₁X₂, △АВМ и △АСМ. И не забывайте факт, что sin(∠β) = sin(180° - ∠β).