Тема . Счётная планиметрия

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счётная планиметрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75218

В остроугольном треугольнике ABC  точка O  — центр описанной окружности; AP  — высота. Докажите, что, если                 ∘
∠BCA  ≥∠ABC + 30 ,  то                ∘
∠CAB + ∠COP < 90 .

Показать доказательство

Пусть AB = c,BC = a,CA =b,∠A= α,∠B =β,∠C = γ,R  — радиус описанной окружности, M  — середина BC.

PIC

Докажем, что      a
MC = 2 ≥ 2b⋅cosγ = 2PC.

a
2 ≥2b⋅cosγ

a≥ 4cosγ
b

Применим теорему синусов для ABC :

sinα-≥4cosγ
sinβ

sinα≥ 4cosγsinβ =2sin (γ+ β)− 2sin(γ− β)=2sinα− 2sin(γ− β)

Поскольку 30∘ ≤ γ− β ≤ 90∘,  то

1 =2⋅sin 30∘ ≥ 2sinγ − β ≥sin α

что верно в силу ограниченности синуса. Т.е. мы доказали, что

MC  ≥2PC ⇒ MP  ≥PC ⇒ OP ≥ PC ⇒ ∠OCP ≥ ∠COP ⇒

⇒ 90∘ = ∠MOC + ∠OCP = α +∠OCP ≥ α+ ∠POC = ∠BAC + ∠POC

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!