Тема . Счётная планиметрия

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счётная планиметрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86261

Треугольник ABC  вписан в окружность ω.  Касательные к ω  в точках B  и C  пересекаются в T.  Точка S  на прямой BC  такова, что AS ⊥ AT.  Точки B1  и C1  лежат на прямой ST  так, что B1T = BT = C1T.  Докажите, что треугольники ABC  и AB1C1  подобны.

Источники: СпбОШ - 2019, задача 11.7(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Пусть M  – середина отрезка BC.  Тогда из условия получаем, что точки S,A,M,T  лежат на одной окружности. Значит ∠AT S = ∠AMS.  Докажем, что треугольники AB1T  и ABM  подобны. Для этого достаточно показать, что B1T  BM-
AT = AM .  Пусть ∠ACB  =γ,∠BAT = ∠CAM  =α.  Нетрудным подсчётом углов получаем, что           ∘
∠ABT  =180 − γ.  Тогда

B1T   BT   sin(∠BAT )     sin(α)    sin(∠CAM )   CM   BM
AT--= AT-= sin(∠ABT-) = sin(180∘-− γ) = sin(∠ACM-) = AM-= AM

Доказали подобие треугольников AB1T  и ABM.  Следовательно, ∠AB1T = ∠ABC.  Аналогично ∠AC1T = ∠ACB,  откуда и следует подобие треугольников ABC  и AB1C1.

PIC

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!