Счёт в синусах и просто теорема синусов

Первое решение.

из треугольника из треугольника из вписанности четырёхугольника

По теореме синусов для треугольника

По теореме синусов для треугольника

Наконец, применяя теорему синусов для :

Подставляем в последнюю пропорцию выражения для и , которые получили выше:

Отсюда видно, что подходит, т.к. , а из

понятно, что этот угол определяется однозначно (он лежит в интервале от до , и мы знаем численное значение его котангенса).

Таким образом, можно выразить радиус окружности из треугольника

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Посчитаем углы:

Отметим на такую точку что

Тогда то есть откуда А то есть откуда Значит, треугольник равнобедренный, а так как то ещё и равносторонний, то есть

Итак, мы получили, что

откуда точка является центром окружности, описанной около треугольника Отсюда искомый радиус равен 1.