Счёт в синусах и просто теорема синусов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность 
вписан четырёхугольник 
. На стороне 
отмечена точка 
таким образом, что 
и
. Найдите радиус окружности 
, если известно, что 
и 
.
Подсказка 1
В условии нам даны углы и равные стороны, давайте тогда попробуем посчитать и другие!
Подсказка 2
∠DAB = 80°, а ∠CAE = 35°! Давайте теперь подумаем, а на что намекает нам поиск радиуса описанной окружности треугольников, в которых известны некоторые стороны и углы?
Подсказка 3
Будем пользоваться теоремой синусов! Было бы удобно для этого выбрать треугольники с известными углами и с общими сторонами.
Подсказка 4
Применим теорему синусов для треугольников △DCE, △ACD и выразим DE и AD через тригонометрические функции и ∠DAC! А в каком треугольнике мы можем связать эти две стороны с помощью пропорции?
Подсказка 5
Запишем пропорцию со сторонами AD и DE из теоремы синусов для треугольника △ADE! Теперь мы можем подставить раннее найденные представления этих сторон и выразить 2*sin(25).
Подсказка 6
2sin(25°) = sin(∠DAC)*2*cos(40°)/sin(∠DAC+35°). Осталось лишь найти, чему может быть равен ∠DAC и найти радиус известным ранее способом ;)
Первое решение.
из треугольника 
из треугольника 
из вписанности четырёхугольника
По теореме синусов для треугольника 
По теореме синусов для треугольника 
Наконец, применяя теорему синусов для 
:
Подставляем в последнюю пропорцию выражения для 
и 
, которые получили выше:
Отсюда видно, что 
подходит, т.к. 
, а из
понятно, что этот угол определяется однозначно (он лежит в интервале от 
до 
, и мы знаем численное значение его
котангенса).
Таким образом, можно выразить радиус окружности из треугольника 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Посчитаем углы:
Отметим на 
такую точку 
что 
Тогда 
то есть 
откуда 
А 
то есть 
откуда
Значит, треугольник 
равнобедренный, а так как 
то 
ещё и равносторонний, то есть
Итак, мы получили, что
откуда точка 
является центром окружности, описанной около треугольника 
Отсюда искомый радиус равен
1.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
