Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.07 Параллелограмм и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1243

Один угол параллелограмма больше другого на $70∘.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают $180∘.$ Следовательно, пусть $x$ — некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен $x + 70∘.$ Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, значит,

x+ x+ 70∘ = 180∘ ⇒ x= 55∘

Тогда больший угол параллелограмма равен

x + 70∘ =125∘

Ответ: 125

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23883

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 50$ и $∘ 85 .$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $ABC :$

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 50 +85 = 135

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC = 180 − 135 = 45

То есть меньший угол параллелограмма равен $45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23888

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ $AC = 12,$ $BD =20,$ $AB = 7.$ Найдите $DO.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть

1 BO = OD = 2BD

Тогда имеем:

DO = 1BD = 1 ⋅20= 10 2 2

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#533

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ перпендикулярна стороне $AB$ и равна 4. Найдите площадь параллелограмма $ABCD,$ если $AD = 5.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора из треугольника $ABD$ имеем:

2 2 2 AB = AD − BD = 25− 16= 9 ⇒ AB =3

Теперь можем найти площадь параллелограмма:

SABCD = AB ⋅BD = 4⋅3= 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#555

Периметр параллелограмма равен 15. При этом одна сторона этого параллелограмма на 5 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть $BC = AB +5,$ тогда периметр параллелограмма $ABCD$ равен

AB +BC +CD +AD = AB +AB +5 +AB + AB + 5= 4 ⋅AB +10 = 15

Откуда находим $AB = 1,25.$ Тогда меньшая сторона параллелограмма равна $1,25.$

Ответ: 1,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#893

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$ равна 2. Найдите большую сторону параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. $BO = DO, AO = CO.$

PBOC = BC + BO + CO PCOD = CD + DO + CO

Тогда

PBOC − PCOD = BC − CD = 2

Пусть $BC =x,$ тогда $CD = x− 2,$ подставим эти выражения в формулу периметра:

BC + AD + CD + AB = x+ x +(x− 2)+ (x− 2)= 12 ⇒ x= 4

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1411

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $BE$ — высота, $BE = ED = 5.$ Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 35. Найдите длину $AE.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда

35 = BE ⋅AD = 5⋅(5+ AE) ⇒ AE =2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1833

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $P △AOB = 8,$ $P△AOD = 9,$ а сумма смежных сторон равна $7.$ Найдите произведение этих сторон параллелограмма $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

PAOB = AO + OB + AB PAOD = AO + OD + AD

Так как $BO = OD,$ то

PAOD − PAOB = AD − AB = 1

По условию $AD + AB = 7,$ тогда

AD = 4, AB = 3 ⇒ AD ⋅AB =12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1853

Периметр параллелограмма равен 100, его большая сторона равна 32. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон. Тогда сумма большей и меньшей сторон равна

100 :2= 50

Значит, меньшая сторона параллелограмма равна

50− 32= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1854

Из точки $C$ параллелограмма $ABCD$ опустили перпендикуляр на продолжение стороны $AD$ за точку $D.$ Этот перпендикуляр пересёк прямую $AD$ в точке $E,$ причём $CE = DE.$ Найдите $∠B$ параллелограмма $ABCD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда $∠EDC = ∠DCE.$ Так как $∠DEC = 90∘,$ а сумма углов треугольника равна $180∘,$ то имеем:

∠EDC = 45∘ ⇒ ∠ADC =180∘− 45∘ = 135∘

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то

∠B = ∠ADC = 135∘

Ответ: 135

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1855

В параллелограмме $ABCD$ сумма длин диагоналей равна 10, а меньшая сторона параллелограмма $ABCD$ равна 2. Найдите наименьший из периметров треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — точка $O,$ тогда

AO +BO =0,5(AC + BD) = 5= = AO + OD = OD + OC = OC + OB

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм $ABCD,$ равен полусумме диагоналей параллелограмма $ABCD$ плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он

5 +2 = 7

Ответ: 7

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1857

Большая сторона параллелограмма равна $24.$ Через точку $O,$ расположенную на диагонали, проведены две прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Первая прямая делит меньшую сторону на отрезки длиной $6$ и $10.$ Найдите модуль разности отрезков, на которые вторая прямая делит большую сторону параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Отношение отрезков, составляющих меньшую сторону, будет совпадать с отношением отрезков, составляющих большую сторону, и составляет $3:5.$

Действительно, по теореме Фалеса (т.к. $MO ∥ BC$ )

AM :MB = AO :OC

Также по теореме Фалеса (т.к. $OK ∥CD$ )

AO :OC = AK :KD

Отсюда следует, что

AM :MB = AK :KD

Можно принять $AK = 3x, KD = 5x.$ Тогда имеем

3 ⋅x + 5⋅x= 24 ⇒ x = 3

Тогда разность отрезков составляет

5 ⋅x − 3⋅x= 2⋅x = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2511

Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь $S = 9 ⋅10,$ с другой стороны, $S = 15⋅h,$ где $h$ — высота, которую нужно найти.

Следовательно,

9 ⋅10 = 15⋅h ⇔ h =6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2512

Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена:

S = ah

Отсюда получаем

h = S :a

Следовательно, при фиксированном $S$ чем больше $a,$ тем меньше $h.$ Таким образом, большая высота равна

40 h = 5- =8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#16082

Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, тогда одна высота параллелограмма равна $40 5 = 8,$ а вторая $4010-=4.$ Нас интересует большая из них, поэтому ответ 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#18494

Дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ и $BC = 4.$ Из вершины $B$ опущены перпендикуляры $BF$ и $BK$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. Найдите $CK,$ если $√- BF = 323.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора для треугольника $ABF$

∘---------- ∘ ---27- 3 AF = AB2 − BF 2 = 9− 4-= 2 = 1,5

$PIC$

$△ ABF ∼ △CBK$ по двум углам ( $∠F AB = ∠BCK$ как противоположные углы в параллелограмме, $∠BF A = ∠CKB = 90∘$ ), следовательно,

AB- AF- AF-⋅BC- BC = CK ⇒ CK = AB = 2

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#18496

Точка $K$ на стороне $P F$ параллелограмма $APF C$ такова, что $P K :KF = 1 :2.$ Прямая $CK$ пересекается с прямой $AP$ в точке $B.$ Найдите $P B,$ если $AB = 3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$AP FC$ — параллелограмм, следовательно, $AB ∥CF$ и $∠F PB = ∠PF C$ как накрест лежащие. Тогда $△ PBK ∼ △F CK$ по двум углам ( $∠BKP = ∠CKF$ как вертикальные, $∠KP B = ∠KF C$ ), и выполняется соотношение

PB P K 1 CF-= KF- = 2 ⇒ CF = 2PB

$PIC$

Обозначим $P B = a,$ тогда $CF = 2a.$ $AP = CF = 2a$ как противоположные стороны параллелограмма. При этом мы знаем, что $AB = 3,$ следовательно

3= AB =AP + P B = 2a +a = 3a ⇒ a= PB = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#18497

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили точки $K$ и $N$ соответственно. Точка $M$ такова, что $AKMN$ — параллелограмм. Отрезки $KM$ и $NM$ пересекают $BC$ в точках $P$ и $E$ соответственно. Найдите отношение $CBEP,$ если известно, что $KP :PM = 1:2, ME :EN = 2 :3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$AKMN$ — параллелограмм, следовательно, $AB ∥MN$ и $∠MKB = ∠KME$ как накрест лежащие, а также $AC ∥KM$ и $∠P MN = ∠CNM$ как накрест лежащие.

Треугольники $BP K$ и $EPM$ подобны по двум углам ( $∠BP K =∠EP M$ как вертикальные, $∠PKB = ∠PME$ ), и выполняется соотношение

BP- = KP--= 1 P E PM 2

Треугольники $ECN$ и $EPM$ подобны по двум углам ( $∠NEC =∠MEP$ как вертикальные, $∠PME = ∠CNE$ ), и выполняется соотношение

P E ME 2 EC- = EN--= 3

Перемножив полученные отношения, получим искомое

BP-⋅ P-E = 1⋅ 2 ⇒ BP- = 1 ⇒ CE- = 3 PE EC 2 3 EC 3 BP

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#23895

Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите высоты параллелограмма. В ответе укажите большую высоту.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты, то есть высоту можно найти как частное площади и основания. Площадь равна 32, основания — 8 и 16, следовательно, высоты равны