Тема 4. Введение в теорию вероятностей

4.03 Сумма вероятностей несовместных событий

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела введение в теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1277

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Вероятность того, что попадется вопрос по теме «Тригонометрия» или по теме «Внешние углы», равна сумме этих вероятностей, поскольку эти события несовместны. Тогда искомая вероятность равна

p= 0,1 +0,15= 0,25.

Ответ: 0,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18069

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме «Площадь», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Поскольку события несовместные (оба события не могут произойти одновременно), для нахождения вероятности того, что произойдёт одно из этих событий, нужно сложить вероятности этих событий

p= 0,25 +0,3= 0,55.

Ответ: 0,55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45215

При изготовлении подшипников диаметром 62 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,986. Найдите вероятность того, что случайно выбранный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 61,99 мм или больше чем 62,01 мм.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что вероятность того, что значение диаметра подшипника будет находиться в промежутке от 61,99 мм до 62,01 мм включительно, равна 0,986.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 61,99 мм или больше чем 62,01 мм, равна

p= 1− 0,986= 0,014.

Ответ: 0,014

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99496

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем $36,8∘C,$ равна 0,71. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36,8∘C$ или выше.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Температура человека в один и тот же момент может быть либо ниже $36,8∘C,$ либо $36,8∘C$ или выше. Значит, это противоположные события, то есть их суммарная вероятность равна 1. Следовательно, вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $∘ 36,8C$ или выше, равна

1− 0,71 = 0,29.

Ответ: 0,29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2647

При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,976. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 60,99 мм или больше чем 61,01 мм.

Показать ответ и решение

Отметим, что событие «Диаметр подшипника отличается от заданного не больше чем на 0,01 мм» — это то же самое, что и событие «Подшипник имеет диаметр от 60,99 мм до 61,01 мм». Выпишем следующие события:

$A$ = {Подшипник имеет диаметр меньше чем 60,99 мм}

$B$ = {Подшипник имеет диаметр больше чем 61,01 мм}

$C$ = {Подшипник имеет диаметр от 60,99 мм до 61,01 мм}

Вместе они составляют вообще все возможные варианты. Значит, сумма их вероятностей равна 1:

P(A)+ P (B )+P (C)= 1

$PIC$

По условию нужно найти вероятность события, которое является объединением событий $A$ и $B.$ Значит искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

P(A)+ P (B )= 1− P(C) P(A)+ P(B) = 1− 0,976= 0,024

Ответ: 0,024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2648

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже $36,8∘C,$ равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36,8∘C$ или выше.

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

События «температура тела ниже $36,8∘C$ » и «температура тела выше или равна $36,8∘C$ » противоположные, значит, сумма их вероятностей равна 1. Тогда искомая вероятность равна

1− 0,81 = 0,19

Ответ: 0,19

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2653

Два радиста пытаются принять сигнал радиопередатчика, причем вероятность того, что сигнал не будет принят никем, равна 0,08. Найдите вероятность, что хотя бы одному из радистов удастся принять сигнал.

Показать ответ и решение

Событие $A =$ «хотя бы одному из радистов удастся принять сигнал» означает, что либо первый примет сигнал, а второй — нет, либо второй примет сигнал, а первый — нет, либо оба примут сигнал. Вероятность противоположного события, то есть события $B =$ «ни один из радистов не примет сигнал», равна 0,08. Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то

P(A) = 1− P(B)= 1− 0,08 = 0,92.

Ответ: 0,92

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#17158

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,15. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Показать ответ и решение

Вероятность того, что попадется вопрос по теме «Вписанная окружность» или по теме «Тригонометрия», равна сумме этих вероятностей, поскольку эти события несовместны.

Тогда искомая вероятность равна

0,15 +0,3= 0,45

Ответ: 0,45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#18111

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими и красными чернилами, одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется чёрной, равна 0,36, а того, что она окажется красной, равна 0,26. Найдите вероятность того, что ручка окажется синей.

Показать ответ и решение

Из коробки можно вытянуть черную, синюю или красную ручку, поэтому сумма вероятностей этих трех событий равна 1. Тогда вероятность вытянуть черную ручку равна

p= 1− 0,36 − 0,26= 0,38.

Ответ: 0,38

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18123

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем $∘ 36,8C,$ равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36,8∘C$ или выше.

Показать ответ и решение

Температура человека в один и тот же момент может быть либо ниже $∘ 36,8 C,$ либо $∘ 36,8C$ или выше. Значит, это противоположные события. То есть их суммарная вероятность равна 1. Следовательно, вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36,8∘C$ или выше, равна

1− 0,91= 0,09

Ответ: 0,09

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#74233

На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Показать ответ и решение

Нам подходит любое из трех событий:

$A = {2 красных блюдца и 2 красных чаш ки}$ или

$B = {2 синих блюдца и 2 синих чашки}$ или

$C = C1$ и $C2.$

Здесь $C1 = {взяли в любом порядке 1 красное блюдце и 1 синее блю дце с первой п&$

$C2 = {взяли в любом порядке 1 красную чаш ку и 1 синюю чаш ку со второй по&#x0$

Следовательно, вероятность события $X = {A или B или C }$ равна

P(X)= P (A )+ P(B)+ P(C)= P (A )+ P(B)+ P(C1)⋅P(C2)

Взять два красных блюдца с первой полки можно с вероятностью $16-⋅ 15, 25 24$ взять две красных чашки со второй полки можно с вероятностью $13⋅ 12. 25 24$ Следовательно,

P (A )= 16⋅ 15-⋅ 13⋅ 12. 25 24 25 24

Тогда, записав аналогично вероятности $P(B),$ $P (C1)$ и $P (C2),$ найдем

( ) ( ) P (X )= 16 ⋅ 15⋅ 13 ⋅ 12+ 9-⋅-8 ⋅ 12⋅ 11 + 2⋅ 16⋅-9 ⋅ 2⋅ 13 ⋅ 12 = 2◟5--24◝◜25--24◞ 2◟5-24◝◜25-24◞ ◟---25◝◜-24-◞ ◟--25◝◜-24◞ P(A) P(B) P (C1) P(C2) = --12---⋅(16 ⋅15 ⋅13 +9 ⋅8⋅11+ 4⋅16⋅9⋅13)= 0,38 252⋅242

Ответ: 0,38

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76261

В магазине продаются два вида елок: заснеженные и зеленые, число которых находится в пропорции $3:2$ соответственно. В среднем на 98 заснеженных небракованных елок приходится 2 заснеженных бракованных, а на 96 зеленых небракованных елок приходится 4 зеленых бракованных. Найдите вероятность того, что случайно купленная в этом магазине елка не будет бракованной.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что можно принять число заснеженных елок за $3x,$ число зеленых — за $2x.$ Тогда всего елок в магазине $3x +2x = 5x.$ Следовательно, вероятность выбрать заснеженную елку равна $3x :5x= 0,6,$ вероятность выбрать зеленую елку равна $2x:5x =0,4.$

В среднем на 98 заснеженных небракованных елок приходится 2 заснеженных бракованных, следовательно, вероятность, что среди заснеженных елок попадется небракованная, равна $98 :100 = 0,98.$ В среднем на 96 зеленых небракованных елок приходится 4 зеленых бракованных, следовательно, вероятность выбрать из зеленых елок небракованную равна $96:100= 0,96.$

Тогда вероятность, что случайно купленная в магазине елка не будет бракованной, равна

0,6⋅0,98+ 0,4⋅0,96 = 0,972

Ответ: 0,972

Предыдущий раздел

Следующий раздел