Тема 6. Решение уравнений

6.04 Рациональные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1441

Найдите корень уравнения $--1--- --1--- 5x− 24 = 16 − 3x .$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $5x− 24⁄= 0$ и $16 − 3x ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1⋅(1(65−x−3x)24−)( 116⋅(−5x3−x)24)= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1⋅(16− 3x) − 1 ⋅(5x− 24)= 0 −8x= −40 x= 5

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1442

Найдите корень уравнения

1 1 33x-−-12-= 17-+-32x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $33x − 12 ⁄= 0$ и $17+ 32x ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1⋅(17+ 32x)− 1 ⋅(33x − 12) ---(33x-−-12)(17+-32x)----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1 ⋅(17 +32x) − 1⋅(33x− 12) = 0 ⇔ − x = − 29 ⇔ x = 29

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18016

Найдите корень уравнения $1 1 2x−-3-= 8$ .

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18017

Найдите корень уравнения $--1---= --1--. 5x− 14 4x − 3$

Показать ответ и решение

---1-- --1-- 5x − 14 = 4x− 3 4x− 3= 5x− 14 x= 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93

Найдите корень уравнения $7+-2x =3. 3 +x$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= − 3.$ Решим на ОДЗ.

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

7+-2x−-3⋅(3+-x) −x-− 2 3+ x = 0 ⇔ 3+ x = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x =− 2$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94

Найдите корень уравнения

7+ 24x 5-+-4x-= 3 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $15 x ⁄= − 4$ . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

7 + 24x− 15− 4x 20x− 8 -----5+-4x----- = 0 ⇔ 5+--4x-= 0 3 3

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x = 0,4$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1 − 2x -2---- = x 3 +x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x ⁄= − 3.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

( 2 ) 1 − 2x− x⋅ 3 + x -------2---------- = 0 - +x 3

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

( ) 1− 2x− x ⋅ 2 + x = 0 ⇔ x2 + 22x − 1 = 0 3 3

Дискриминант данного уравнения

( )2 D = 64 + 4 = 10 9 3

Корни квадратного уравнения

1 x1 = 3 , x2 = − 3

– подходят по ОДЗ.

Ответ: $x = − 3$ – наименьший корень.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#96

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

− 3− 5x -x-−-5- = 2x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 5.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

− 3 − 5x− 2x ⋅(x − 5) -------x−-5--------= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $− 3− 5x− 2x ⋅(x − 5) = 0,$ что равносильно $2x2 − 5x+ 3 = 0.$

Дискриминант данного уравнения $D = 1.$ Корни квадратного уравнения $x1 = 1,$ $x2 = 1,5$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: $x = 1$ – наименьший корень.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#97

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

7x + 2 5-− 3x-= − 8x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $5 x ⁄= 3 .$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

7x-+-2+-8x⋅(5−-3x) = 0 5− 3x

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $7x + 2+ 8x⋅(5− 3x) = 0,$ что равносильно $24x2 − 47x − 2 = 0.$

Дискриминант данного уравнения

D = 2209+ 192 = 2401 = 492

Корни квадратного уравнения

x1 = 2, x2 = −-1 24

– подходят по ОДЗ.

Ответ: $x = 2$ – наибольший корень.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#98

Решите уравнение $x+-2-=0,5x. 7− x$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 7.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

x + 2− 3,5x+ 0,5x2 -------7−-x------- = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x + 2− 3,5x+ 0,5x2 = 0,$ что равносильно $x2 − 5x + 4 = 0.$

Дискриминант данного уравнения

D = 25− 16 = 9 = 32

Корни квадратного уравнения $x1 = 4,$ $x2 = 1$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: $x = 4$ – наибольший корень.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#99

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

1 x2 −-5x+-3-= − 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x − 5x+ 3 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1+ 1⋅(x2 − 5x + 3) ---x2-−-5x+-3----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $1+ 1⋅(x2 − 5x + 3) = 0,$ что равносильно $x2 − 5x+ 4 = 0,$ откуда $x1 = 1,$ $x2 = 4$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: больший корень $x = 4.$

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#100

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

− 1 1 x2-−-12x−-25 = −3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x − 12x− 25 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Умножим уравнение на $− 3,$ затем перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

3− (x2 − 12x − 25) --x2-−-12x−-25---= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $3 − (x2 − 12x − 25) = 0,$ что равносильно $x2 − 12x− 28 = 0,$ откуда $x1 = 14,$ $x2 = − 2$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: меньший корень $x = − 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#101

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

20x 3x2 −-7-= 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 3x − 7 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

20x − 3x2 + 7 ---3x2 −-7-- = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $20x − 3x2 + 7 = 0,$ что равносильно $3x2 − 20x− 7 = 0.$

Дискриминант

D = 400+ 84 = 484 = 222

Тогда корни

20+ 22 20− 22 1 x1 = -------= 7, x2 = -------= − - 6 6 3

– подходят по ОДЗ. Больший из корней равен 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#638

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1 x2-−-2x+-2 = 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x − 2x+ 2 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1− 1⋅(x2 − 2x + 2) ---x2-−-2x+-2----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1− 1⋅(x2 − 2x + 2) = 0 ⇔ x2 − 2x+ 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1

Ответ: $x = 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1435

Найдите корень уравнения $3x−-4 x+ 43 =− 2.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= − 43.$ Решим задачу на ОДЗ.

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю:

3x−-4+x+2⋅4(3x+-43)-= 0 ⇔ 5xx++-8423 =0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда $x= −16,4$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -16,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1436

Найдите корень уравнения $−x-− 8 x− 8 = 9.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= 8.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

−x−-8−x-9− 8⋅(x−-8)-=0 ⇔ −10xx−+864-=0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x = 6,4$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1437

Найдите корень уравнения

12+ 0,3x -1+-0,1x-= 7

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 10.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

12+ 0,3x− 7 − 0,7x − 0,4x + 5 -----1+-0,1x------= 0 ⇔ -1+-0,1x-= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x = 12,5$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1438

Решите уравнение $--1---= − 1. x2− 65$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√-- x ⁄=± 65.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1 +1 ⋅(x2− 65) ----x2−-65---= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $2 1+ 1 ⋅(x − 65)= 0,$ что равносильно $x2 =64,$ откуда $x= ±8$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: $x= − 8$ – меньший корень.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1439

Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

17x 4x2 +-4-= 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 4x + 4 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

17x − 1⋅(4x2 + 4) ----4x2 +-4-----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

17x− 1⋅(4x2 + 4) = 0 ⇔ 4x2 − 17x + 4 = 0

Дискриминант

D = 289− 64 = 225 = 152

Тогда корни

17 + 15 17− 15 x1 =---8---= 4, x2 = --8----= 0,25

– подходят по ОДЗ. Больший из корней равен 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1440

Решите уравнение $x-− 3 x−-3- 2x+ 5 = 5x + 2.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x+ 5 ⁄=0$ и $5x + 2⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

(x-− 3)(5x(2+x+2)5−)( (5xx−+-32))(2x-+5) = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

(x− 3)(5x +2)− (x− 3)(2x +5)= 0 ⇔ (x− 3)(5x + 2− 2x − 5) =0

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда $x1 = 3,$ $x2 = 1$ – подходят по ОДЗ. Итого: больший из корней $x= 3.$

Ответ: 3