Функции на КФУ

Пусть Вовочка записал уравнение в виде

и оно не имеет корней. Предположим, что можно заменить свободный член так, чтобы у уравнения появились два целых корня. Пусть верное задание имеет вид

корни его обозначим По теореме Виета

То есть — целое число. Сохраняя эту сумму, можно менять корни и, соответственно, их произведение. То есть в качестве можно рассмотреть числа 0, и т.д. Итак, в этом случае исправление не единственное.

Например, пусть Вовочка решал уравнение

Здесь Значит, «восстановленное» уравнение может иметь вид

Папа не смог бы сказать, которое из них было задано на дом.

Мы показали следующий факт: если можно исправить уравнение за счёт свободного члена, то это исправление не единственное. Вообще говоря, надо ещё показать, что ситуация, описанная папой, возможна. Например, рассмотрим уравнение

Если не менять первый коэффициент, то новое уравнение имеет вид

где либо либо Но тогда числа и не могут быть оба целыми. Значит, уравнение нельзя исправить за счет второго или третьего коэффициента, так как ни один из них не делится на 3. Попробуем найти «правильный» коэффициент Ясно, что он должен быть делителем как 1, так и 2, то есть подходят только и

Уравнение

не имеет решений, а уравнение

имеет целые корни и Именно оно и будет единственным возможным исправлением исходного уравнения.

Замечание. Без условия целочисленности корней утверждение задачи также будет верным. Однако без этого ограничения неверным будет высказывание папы, так что из него может следовать что угодно.