Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

Функции на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83858

a) Существует ли функция $f(x),$ заданная на всей числовой оси такая, что

( 1) 2 f x− x =x ?

б) Существует ли такая функция, заданная для $x> 0?$

Источники: КФУ - 2024, 11.5 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Функция может принимать при разных абсциссах одни и те же значения, но бывает ли наоборот? Может ли функция при одной абсциссе иметь два значения?

Пункт а, подсказка 2

Такое сложное выражение внутри функции для абсцисс, может ли оно быть равно одному значению при подстановке разных x?

Пункт а, подсказка 3

Заметим, что в выражении «x - 1/x» есть переменная и обратная к ней, а что если в место переменной подставить сразу обратную, то есть (1/x) - 1/(1/x) = 1/x - x. Получилось, что-то очень похоже на изначальное выражение, может только поменять знак?

Пункт а, подсказка 4

Используя предыдущий факт, внимательно посмотрите на два равенства, получаемых при подстановке в функцию, например, x = 2 и x = -½. Придите к противоречию.

Пункт б, подсказка

Обратите внимание, что положительный x должен быть для f(x), а не для условия на f(x - 1/x).

Показать ответ и решение

а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой $x =2$ и $x =− 1∕2$ в условие задачи

3 ( 1) 2 f(2)= 2 −2 = 2

( ) ( )2 f(3)= − 1− (−2) = − 1 = 2−2 2 2 2

получаем противоречие

б) Если существует, то снова возникает противоречие при $x =1,5> 0$ с неоднозначностью $f(1,5).$ Этот пункт проверяет лишь понимание, что положительный $x$ должен быть для $f(x)$ , а не для условия на $( 1) f x− x .$

Ответ:

а) нет

б) нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68975

Обозначим $min-x−1= a;max-x−1-= b. x2+1 x2+1$ Найдите, чему равны минимум и максимум функций:

x3− 1 а) x6+1-

б) xx+2+11-

Источники: КФУ-2023, 11.3 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), Подсказка 1

Понятно, что если изначальное выражение обозначить за f(x), то теперь у нас выражение f(x³). Изменится ли минимум и максимум такой функции?)

Пункт б), Подсказка 1

Теперь попробуйте рассмотреть выражение f(-x). Оно будет почти таким же, как наше выражение, и задача решится)

Показать ответ и решение

Введём обозначение $x−1-= f(x). x2+1$

a) Имеем $x3−1 3 x6+1 = f(x )$ . Величина $3 x$ пробегает все числовые значения, значит, $3 f(x )$ принимает такие же значения, как $f(x).$

б) Имеем $−x−1 x+1 f(−x)= x2+1-= −x2+1$ , то есть $x+1 x2+1 = −f(−x)$ , значит, эта функция принимает значения от $− b$ до $− a.$

Ответ:

а) $a,b$

б) $− b,−a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68994

Рассмотрим алгебраическое выражение $F (a,...,x),$ содержащее переменные, скобки и операции умножения и вычитания. Числовые константы не используются. Заменим один из знаков операции на $⊥,$ другой — на $⊳⊲.$ Назовем полученное выражение «формулой». Например, формулой будет выражение $(a⊳⊲b)⊥ c,$ причем один из знаков обозначает разность, а другой - умножение.

а) существует ли формула, которая при любых значениях переменных (и любом из смыслов знаков) дает значение 0?

б) существует ли формула, которая при любых значениях переменных дает значение 1 ?

Источники: КФУ-2023, 11.5 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), Подсказка

Попробуйте придумать такую формулу, в которой будет содержаться только одна переменная. Для этого надо вспомнить, когда a*a (где * - операция) дает ноль в разных случаях)

Пункт б), Подсказка

А теперь подумайте про четность чисел, и как она меняется или не меняется в зависимости от операций и от самих чисел) Вдруг можно подобрать такие числа что никогда не будет 1...

Показать ответ и решение

a) Рассмотрим формулу $A= a ⊥a$ . Если $⊥$ - вычитание, то выражение тождественно равно $0$ . Если $⊥$ - умножение, то $A= 0$ при $a =0$ . Поэтому выражение $N =(a⊥ a)⊳⊲ (a ⊥a)$ равно $0$ при любом смысле знаков $⊥$ и $⊳⊲$ . Действительно, если $⊥$ - вычитание, то $N = 0⋅0= 0$ . Если же $⊥$ - умножение, то $⊳⊲$ - вычитание, тогда $N = a⋅a− a⋅a= 0$ .

б) Предположим, что переменным $a,b,...$ приданы четные значения. Тогда и $a⊳⊲b$ , и $a⊥ b$ , также являются чётными. Поэтому при таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.

Ответ: а) Да; б) Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#65457

Функция $f$ для всех действительных $x,y$ удовлетворяет неравенствам

f(x+ y) ≥f(x)+f(y), f(x)≥ x

Найдите все такие функции $f(x)$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)= f(x+0)≥ f(x)+ f(0)$ , то есть $0≥ f(0)$ . С другой стороны $f(0)≥ 0$ по условию, а значит, $f(0) =0.$

Теперь заметим, что $f(0)≥ f(x)+ f(−x)≥ 0,$ а значит, $f(x)+f(−x)= 0.$

Теперь запишем неравенство $f(− x)≥− x.$ Зная, что $f(−x)= −f(x),$ получаем неравенство $− f(x)≥ −x,$ то есть $x ≤f(x)≤x.$

Следовательно, $f(x)= x.$

Ответ:

$f(x)= x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91880

Существует ли такая непостоянная функция $f(x)$ , заданная на всей числовой оси, что при всех действительных $x$ выполняется равенство

(a) $f(sinx)+ f(cosx)=1$ ;

(b) $f(sinx)− f(cosx)=1$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.2 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка

Для каждого из двух пунктов нужно либо привести пример такой функции, либо предположить её существование и прийти к противоречию. В пункте (а) если это верно, то на всей числовой прямой должно выполняться такое тождество для суммы функций синуса и косинуса одного и того же аргумента. Мы знаем не так уж много тригонометрических тождеств!

Пункт б, подсказка 1

По аналогии с (а) подобрать тождество здесь не получается. В аргументах функции f — синус и косинус. Какие значения x можно выбрать, чтобы аргументы функции приняли наиболее простой вид?

Пункт б, подсказка 2

Можно подставить х:=0, тогда синус примет значение 0, а косинус — 1. По аналогии с этим подставим еще одно значение x, и получим противоречие!

Показать ответ и решение

(a) Рассмотрим $f(x)= x2,$ тогда условие принимаем вид

sin2x+ cos2x= 1

Это основное тригонометрическое тождество, оно верно для любого $x.$

(b) Допустим, что такая функция есть. Пусть $x= 0,$ тогда

f(0)− f(1)= 1

Теперь пусть $π x= 2,$ тогда

f(1)− f(0)= 1

Сложим полученные равенства, получим

0= 2

противоречие.

Ответ:

(a) да;

(b) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#65461

Функция $f(x)$ , заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет равенству

f(x)f(y)= f(x − y)

Известно, что $f (1) =1 2$ . Чему равно $f(2020)?$

Источники: КФУ-2020, 11.2 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется подставить какие-то числа вместо x и y, чтобы использовать f(1/2)=1.

Подсказка 2

Подставим x=1, y=1/2 и найдём f(1)=1. Теперь хочется подставить что-то вместо y...

Подсказка 3

Подставляем y=1 и получаем рекурренту, из которой легко находится f(2020).

Показать ответ и решение

Положим $x= 1,y = 1 2$ , тогда $f(1)f(1)= f(1) 2 2$ , откуда $f(1)= 1$ . Теперь положим $y = 1$ , тогда $f(x)= f(x− 1)$ . Теперь очевидно, что $f(2020)= f(1)= 1$ .

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96506

Функция $f(x)$ задана на всей числовой оси, причём для всех $x$ выполняются неравенства:

f(x+ 2018)≤ f(x)≤ f(x+ 2019)

a) Придумайте хотя бы одну функцию $f(x)$ , удовлетворяющую этим условиям.

б) Докажите, что функция $f(x)$ — периодическая.

Показать ответ и решение

а) Возьмём $f(x)=|sin(πx)|$ . Тогда

f(x+ 2018)= f(x)= f(x+ 2019)

б) Представим $x+ 2019$ в виде $(x +1)+ 2018$ и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве $x$ выражение $x +1$ . Тогда $f((x +1)+ 2018)≤ f(x +1)$ , и поскольку $f(x)≤f(x+ 2019)$ , имеем