Тема . ШВБ (Шаг в будущее)

Функции на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65465

Для всех неотрицательных значений вещественной переменной $x$ функции $f(x)$ выполняется условие

-----43---- f(x+ 1)+1= f(x)+(x+ 1)(x+ 2)

Вычислите $101 f(2020)$ , если $f(0)= 2020$ .

Источники: ШВБ-2020, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Докажем по индукции, что

-1-- f(n)= 2020− n +43(1− n+ 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База очевидна:

f(0)= 2020− 0 +43(1 − 1)= 2020

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход несложно доказать:

43 ( 1 ) 43 f(n+ 1)=− 1+f(n)+ (n-+1)(n-+2)-=2020− n +43 1− n+1- − 1+ (n-+1)(n-+2) =

( ) ( ) 2020− (n+ 1)+ 43 1+ -----1-----− --n-+2---- = 2020− (n +1)+ 43 1− ---1---- (n+ 1)(n+ 2) (n +1)(n +2 (n+ 1)+ 1

_____________________________________________________________________________________

Таким образом, по доказанной формуле

f(2020)= 2020− 2020+ 43(1−--1---)= 2020= 101⋅20- 2020+ 1 47 47

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Вот как прийти к решению:

f(n)=f(n− 1)− 1+---43---= f(n − 2)− 2+43(--1---+---1---)= n(n+ 1) n(n+ 1) n(n− 1)

1 1 1 = f(n− 3)− 3+ 43(n(n+-1) + (n-− 1)n + (n−-2)(n−-1))=

= f(0)− n+ 43(--1---+ ---1---+...+ -1-)= n(n+ 1) (n− 1)n 1⋅2

1 --1- --1- 1 1 1 =f(0)− n +43(n − n+ 1 + n − 1 − n + ...+ 1 − 2)=

1 =2020− n+43(1− n+-1)

Ответ:

$47 20$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Функции на ШВБ

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ