Функции на ШВБ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для всех неотрицательных значений вещественной переменной 
функции 
выполняется условие
Вычислите 
, если 
.
Источники:
Подсказка 1
В равенстве из условия можно выразить f(x+1) через f(x). Кажется, это намекает на какую-то рекурсию, попробуем выразить f(x) через f(x-1) и т.д. Заметна ли какая-то закономерность?
Подсказка 2
Да, на самом деле для натурального n можно выразить f(n) через f(0) = 2020, получится равенство f(n) = 2020 - n + 43(1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n×(n+1))). Подумайте, как можно свернуть сумму дробей в скобках.
Подсказка 3
Попробуйте каждую дробь из суммы расписать как разность двух дробей так, чтобы при суммировании почти все члены сокращались.
Подсказка 4
1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1), тогда все члены сокращаются, кроме первого и последнего, получаем f(n) = 2020 - n + 43(1 - 1/(n+1)). Что можно применить, чтобы доказать эту формулу для любого натурального n?
Подсказка 5
Конечно же, индукцию! База легко проверяется, переход также несложно доказывается. Остаётся посчитать f(2020) :)
Докажем по индукции, что
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
База очевидна:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Переход несложно доказать:
_____________________________________________________________________________________
Таким образом, по доказанной формуле
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Вот как прийти к решению:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
