Тема 6. Решение уравнений

6.03 Кубические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2158Максимум баллов за задание: 1

Найдите больший корень уравнения

3 2 8x + 12x + 6x + 1 = 0

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы:

3 2 2 3 3 1 (2x) + 3⋅(2x) ⋅1+ 3⋅(2x)⋅1 + 1 = 0 ⇔ (2x + 1) = 0 ⇔ x = − 2

Ответ: -0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2159Максимум баллов за задание: 1

Найдите больший корень уравнения

3 2 x + 9x + 27x + 27 = 0

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы:

3 2 2 3 3 x + 3⋅x ⋅3 +3 ⋅x⋅3 +3 = 0 ⇔ (x + 3) = 0 ⇔ x = − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2156Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение

3 (x + 1) + 8+ 6(x+ 1)(x+ 3) = 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x+ 1 = t.$ Тогда уравнение перепишется в виде

t3 + 6t(t+ 2)+ 8 = 0 ⇔ t3 + 6t2 + 12t+ 8 = 0 ⇔ 3 2 2 3 3 ⇔ t + 3⋅t ⋅2+ 3 ⋅t⋅2 + 2 = 0 ⇔ (t+ 2) = 0 ⇔ ⇔ t+ 2 = 0 ⇔ t = − 2 ⇒ x = − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2153Максимум баллов за задание: 1

Найдите модуль разности корней уравнения

3 2 x − 7x + 11x− 5 = 0

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: $1− 7 + 11− 5 = 0,$ следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения. Выполним деление в столбик:

x3 − 7x2 + 11x − 5 | x− 1 x3 − x2 |--x2 −-6x+-5 ---−-6x2 + 11x | − 6x2 + 6x | -------5x-− 5 | 5x − 5 | ----0- |

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

(x− 1)(x2 − 6x +5) = 0 ⇔ (x − 1)(x − 1)(x− 5) = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 5

Модуль разности корней уравнения: $|5 − 1| = 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2154Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(21x− 8− 4x3− 4x2)3 = 1.$

Если оно имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно уравнению

3 2 3 2 21x− 8− 4x − 4x = 1 ⇔ 4x + 4x − 21x + 9= 0

Попробуем подобрать рациональный корень $p q$ : тогда $p$ – делитель 9, а $q$ — делитель 4. Следовательно, возможные варианты корней:

1 1 3 3 9 9 ±1; ±2; ±4; ±3; ± 2; ± 4; ±9; ± 2; ± 4

Проверим сначала целые корни. Таким образом, убеждаемся, что $x = −3$ является корнем:

4⋅(− 3)3+ 4⋅(−3)2− 21⋅(−3)+ 9= 0 ⇔ 0 =0

Теперь разделим $3 2 4x + 4x − 21x+ 9$ на $x+ 3$ в столбик:

| 4x33+ 4x22− 21x +9 |----x2+-3---- 4x-+-12x2 | 4x − 8x+ 3 −8x2− 21x | −8x-−-24x | 33xx ++99 | ----0 |

Таким образом, уравнение примет вид:

( ) ( ) (x + 3)(4x2− 8x + 3)= 0 ⇔ (x + 3)⋅4 x− 1 x − 3 = 0 ⇔ x1 = −3; x2 = 1; x3 = 3 . 2 2 2 2

Наибольший по модулю корень – это $x= −3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2155Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший корень уравнения $(2x3+ x2+3x − 1)2 = 25.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно совокупности:

[ 3 2 [ 3 2 2x + x + 3x− 1= 5 ⇔ 2x + x +3x − 6= 0 2x3+ x2+ 3x− 1= −5 2x3+ x2+3x + 4= 0

Решим каждое уравнение по отдельности.

1) $3 2 2x + x + 3x− 6= 0.$ Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: $2+ 1+ 3− 6= 0,$ следовательно, $x= 1$ является корнем. Выполним деление в столбик $2x3 +x2+ 3x− 6$ на $x − 1 :$

3 2 | 2x3+ x 2+3x − 6 |----x2−-1---- 2x-−-2x2 | 2x + 3x+ 6 33xx2+− 33xx | ----6x-− 6 | 6x-− 6 | 0 |

Таким образом, уравнение перепишется в виде:

(x− 1)(2x2+ 3x+ 6)= 0

Дискриминант квадратного трехчлена $D < 0,$ следовательно, он не имеет корней. Таким образом, уравнение имеет один корень $x = 1.$

2) $3 2 2x + x + 3x+ 4= 0.$ Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях $x,$ равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: $1+ 4= 2+ 3,$ следовательно, $x= −1$ является корнем. Выполним деление в столбик $2x3+ x2+ 3x+ 4$ на $x +1 :$

2x3+ x2+ 3x + 4 | x+ 1 2x3+-2x2 |--2x2−-x+-4- −x2+ 3x | −x2-−-x | 4x + 4 | 4x-+-4 | 0

Таким образом, уравнение перепишется в виде:

(x +1)(2x2 − x + 4) =0

Дискриминант квадратного трехчлена $D < 0,$ следовательно, он не имеет корней. Таким образом, уравнение имеет один корень $x = −1.$

Таким образом, исходное уравнение имеет наибольший корень $x= 1.$

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#2160Максимум баллов за задание: 1

Найдите неположительный корень уравнения

3 2 x + 4x − 3x− 18 = 0

Показать ответ и решение

Попробуем подобрать рациональный корень $p q.$ Тогда $p$ – делитель 18, а $q$ – делитель 1. Следовательно, возможные варианты корней:

±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18

Подбором находим, что $x = 2$ является корнем:

23 + 4⋅22 − 3⋅2 − 18 = 0 ⇔ 0 = 0

Выполним деление в столбик $x3 + 4x2 − 3x− 18$ на $x− 2 :$

3 2 | x3+ 4x2− 3x− 18 |---2x−-2---- x-−-2x2- | x + 6x + 9 6x 2− 3x | 6x-−-12x- | 9x− 18 | 9x−-18- | 0

Таким образом, уравнение перепишется в виде:

2 2 (x − 2)(x + 6x + 9) = 0 ⇔ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇔ x1 = 2; x2 = − 3

Неположительный корень уравнения – это $x = − 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#36773Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(x − 1)3+ (x+ 1)3 =2(x+ 2)(x2 − 2x +4).$

Показать ответ и решение

Видим, что левая часть уравнения — это сумма кубов, применим соответствующую формулу:

(x− 1)3+ (x+ 1)3 ((x− 1)+ (x + 1))((x − 1)2− (x− 1)(x+ 1)+ (x+ 1)2) 2 2 2 2x(x − 2x+ 1− x + 1+ x + 2x+ 1) 2x(x2+ 3)= 2x3+ 6x.

Правая же часть из себя представляет удвоенную сумму кубов $x$ и 2. Действительно:

2(x + 2)(x2− 2x+ 4) 2 2 2(x+ 2)(x − 2x +2 ) 2(x3+ 23)= 2x3+ 16.

Таким образом, получим уравнение:

2x3+ 6x =2x3+ 16 6x =16 x = 16= 8 . 6 3

Ответ:

$8 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#37903Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $(x − 2)3 = − 216.$

Показать ответ и решение

Уравнение $x3 = a3$ равносильно $x= a.$ Заметим, что $216 = 63.$ Тогда

(x − 2)3 = 216 x− 2= − 6 x = −4

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#38816Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $10x3 − 3x2− 2x+ 1 =0.$

Показать ответ и решение

В этом уравнении свободный коэффициент $a0 = 1,$ старший коэффициент $a = 10. 3$ По теореме о рациональных корнях $a ..p, 0.$ $a ..q, 3.$ и кандидатами на роль рационального корня $p q$ уравнения являются числа: $± 1;$ $1 ± 2 ;$ $1 ± 10;$ $1 ± 5.$