Тема 6. Решение уравнений

6.02 Линейные и квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126481Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $− 8x− 3= −6x.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

−8x− 3= − 6x −2x− 3 =0 − 2x= 3 x = − 3 2 x= − 1,5.

Ответ: -1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126482Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $x− 2= −3x.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

x− 2= −3x 4x − 2 = 0 4x= 2 x = 2 4 x = 0,5.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126483Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $− 5+ 9x= 10x+ 4.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

− 5− 4= 10x− 9x −9= x x = −9.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126486Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $9+ 13x = 35+ 26x.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

9+ 13x= 35+ 26x 9− 35= 26x− 13x −26 = 13x 13x= − 26 x= − 26 13 x = −2

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126488Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $4(x +10)= − 1.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

4 (x +10)= − 1 4x +40 =− 1 4x= −41 x =− 41 4 x =− 10,25

Ответ: -10,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126490Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $5(x +9)= − 8.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

5(x+ 9)= −8 5x +45 =− 8 5x= −53 x =− 53 5 x = −10,6.

Ответ: -10,6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126491Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $10(x − 9)= 7.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

10(x− 9)= 7

Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:

$pict$

Ответ: 9,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1423Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $4 2 − 3x =5 3.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на $− 3.$ После умножения: $4x =− 17,$ что равносильно $x= − 4,25$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2682Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $2 1 9x= 49 .$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: $2x= 37$ , что равносильно $x = 18,5$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#853Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $37 2x 3,75x+ 4 = 3 .$

Показать ответ и решение

37 2x 3,75x+ 4 = 3

Заметим, что $3 15 3,75= 34 = 4-:$

15x + 37= 2x 4 4 3

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а все остальные — в правую:

15 2x 37 4-x− 3- =− 4-

Умножим обе части уравнения на 12:

| 15-x− 2x =− 37 |||⋅12 4 3 4 45x− 8x= −37 ⋅3 37x= −37 ⋅3 x = −3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17113Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x+-5− 9x =14(1− x). 5$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 2,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#79Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $2x2− 7x + 3= 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

1 способ

Дискриминант данного уравнения $D = 49− 24= 25= 52.$ Корни

7 +5 7− 5 x1 =--4- = 3 и x2 = -4--= 0,5

ответ: $x = 0,5$ – меньший корень уравнения.

2 способ

Найдем дискриминант:

D = b2− 4ac= 72− 4⋅3⋅2= 49− 24 >0

Значит, уравнение имеет 2 корня.

Тогда можно применить теорему Виета:

( {x1 +x2 = − −7 {x1+ x2 = 3,5 ( 3 2 ⇔ x1x2 = 1,5 x1x2 = 2

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Подбором найдем, что $0,5$ и 3 являются корнями системы. Так как $0,5$ — наименьший корень, запишем его в ответ.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $(4x +5)2 = (4x+ 4)2.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем

2 2 16x + 40x + 25 = 16x + 32x + 16 ⇔ 8x = − 9 ⇔ x = − 1,125

Ответ: -1,125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#81Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(6,25x+ 11)2 =(6,25x+ 9)2.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем

2 2 (6,25x) + 137,5x +121 =(6,25x)+ 112,5x+ 81 ⇔ 25x = −40 ⇔ x = −1,6

Ответ: -1,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#82Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $4 2 2 7x = 467.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем $4x2 = 324,$ что равносильно $x2 = 81,$ что равносильно $x= ±9$ – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней равен 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#856Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(1 − x)2+ 1= 2(1− x).$

Показать ответ и решение

1 способ.

Раскроем скобки:

2 2 1 − 2x +x +1 = 2− 2x ⇔ x = 0 ⇔ x =0

2 способ.

Преобразуем:

2 2 2 2 (1− x) − 2(1 − x)+ 1 = 0 ⇔ (1− x− 1) = 0 ⇔ (−x) = 0 ⇔ x =0

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1425Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2− 11x +28 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

1 способ

Дискриминант данного уравнения

2 D = 121− 28⋅4= 121− 112= 9= 3

Тогда его корни

11+ 3 11− 3 x1 = --2--= 7, x2 =--2--= 4.

Ответ: $x= 7$ – больший корень уравнения.

2 способ

Найдем дискриминант:

D = b2 − 4ac= 112− 28⋅4= 121− 112> 0

Значит, уравнение имеет 2 корня.

Тогда можно применить теорему Виета:

{ x1+ x2 = 11 x1x2 = 28

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Подбором чисел, произведение которых равно 28, обнаружим, что 4 и 7 корни данной системы. Так как 7 — наибольший корень, запишем его в ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1426Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $(5x +8)2 = 160x.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем $25x2+ 80x+ 64= 160x,$ что равносильно $25x2− 80x+ 64= 0,$ что равносильно $(5x− 8)2 = 0,$ что равносильно $(5x− 8)(5x− 8)= 0.$

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что

x= 8 = 1,6 5

– единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1427Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $(2x +11)2 = 88x.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем $4x2+ 44x+ 121= 88x,$ что равносильно $4x2− 44x + 121 = 0,$ что равносильно $(2x − 11)2 = 0,$ что равносильно $(2x − 11)(2x− 11)= 0.$