Тема 6. Решение уравнений

6.02 Линейные и квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#36771Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $4x4 − 36x2 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их сумму.

Показать ответ и решение

$pict$

Тогда сумма корней равна $− 3+ 0+ 3= 0.$

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#36772Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2− 16 = 3x− 12.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их произведение.

Показать ответ и решение

x2− 16= 3x − 12 (x − 4)(x+ 4)= 3(x − 4) (x − 4)(x+ 4− 3)= 0 (x− 4)(x +1)= 0 ⌊ ⌈x= 4 x= −1

Тогда произведение корней равно $4⋅(−1)= − 4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#37307Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение:

$3x2 + x − 4 = 0$

Корни введите в порядке возрастания, через запятую. Пример ответа — если Вы получили $2 3$ и $− 1,03$ ввести нужно -1,03,2/3 .

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма коэффицентов равна 0, следовательно, один из корней уравнения равен 1. По теореме Виета, произведение корней равно $c = − 4 a 3$ , следовательно, второй корень равен -4/3.

Ответ: -4/3,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#37308Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $2x2+x − 10= 0.$

Корни введите в порядке возрастания, через запятую. Пример ответа — если Вы получили $2 3$ и -1,03 ввести нужно -1,03,2/3.

Показать ответ и решение

Используем метод переброски и получим:

y2+ y− 20= 0

По теореме Виета: ${ y1+ y2 = −1 y1⋅y2 = −20$
Тогда: $y1 = − 5;y2 = 4.$ Следовательно, корни исходного уравнения:
$x = y1-= −2,5;x = y2 =2. 1 2 2 2$

Ответ: -2,5,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#37310Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $5x2+16x +11 =0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их сумму.

Показать ответ и решение

Используем метод переброски и получим:

y2+ 16y+ 55= 0

По теореме Виета: ${ y1+ y2 = −16 y1⋅y2 = 55$
Тогда: $y1 = − 5;y2 = − 11.$ Следовательно, корни исходного уравнения: $x = y1-= −1;x = y2= −2,2. 1 5 2 5$

Тогда их сумма равна $− 1− 2,2= − 3,2.$

Ответ: -3,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#37312Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $5x2 − 6x +1 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их сумму.

Показать ответ и решение

Используем метод переброски и получим:

$y2− 6y+ 5= 0$

По теореме Виета: ${ y1+ y2 = 6 y1⋅y2 = 5$
Тогда: $y1 = 5;y2 = 1$ . Следовательно, корни исходного уравнения: $y1- y2 x1 = 5 = 1;x2 = 5 = 0,2.$

Тогда их сумма равна $1+ 0,2= 1,2.$

Ответ: 1,2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#38341Максимум баллов за задание: 1

Обозначим через $x1$ и $x2$ корни уравнения $x2− 7x + 10 = 0.$ Не находя этих корней, определите $2 2 x1 +x2.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x1+ x2 =7,$ а $x1x2 = 10.$ Тогда

x21+ x22 = x21+ x22+ 2x1x2 − 2x1x2 = = (x1+ x2)2− 2x1x2 = 2 = 7 − 2⋅10= 49− 20= 29

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#38343Максимум баллов за задание: 1

Обозначим через $x1$ и $x2$ корни уравнения $x2− 7x + 10 = 0.$

Не находя этих корней, определите значение выражения $x1 x2 x2 + x1.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x1+ x2 =7,$ а $x1x2 = 10.$ Тогда

x1 x2 x21 x22 x21+ x22 x21 +x22 x2 + x1 = x1x2 + x1x2 =-x1x2-=--10--

Найдем значение $x21 +x22.$

x21+x22 =x21+x22+2x1x2− 2x1x2 =(x1+ x2)2− 2x1x2 = 72− 2⋅10= 49− 20= 29

Значит,

x21+-x22 29 10 = 10 = 2,9

Ответ: 2,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#38351Максимум баллов за задание: 1

Обозначим через $x1$ и $x2$ корни уравнения $x2− 7x + 10 = 0.$

Не находя этих корней, определите значение выражения $x31+ x32.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x1+ x2 =7,$ $x1x2 =10,$ следовательно,

x3+ x3= (x1+ x2)(x2− x1x2+ x2)= 1 2 1 2 = (x1 +x2)((x1+ x2)2− 3x1x2)= 2 = 7⋅(7 − 3⋅10)= 133

Ответ: 133

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#38354Максимум баллов за задание: 1

Обозначим через $x1$ и $x2$ корни уравнения $x2− 7x + 10 = 0.$

Не находя этих корней, определите значение выражения $1x21 + 1x22.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x1+ x2 =7,$ $x1x2 =10,$ следовательно,

1 1 x2+ x2 (x1 +x2)2− 2x1x2 x2 + x2= -1x2x22 = ----(x-x)2-----= 1 2 1 2 1 2 = 72−-2⋅10= -29 = 0,29 102 100

Ответ: 0,29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#70579Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(x − 6)2 = −24x.$

Показать ответ и решение

Раскроем квадрат суммы и преобразуем выражение:

2 x − 12x+ 36= − 24x,

2 x + 12x+ 36= 0,

2 (x+ 6) = 0.

От одной формулы сокращенного умножения мы пришли к другой. Подсказка о том, что корень всего один, дана в условии. Нас не просят выбирать корни из двух, хотя мы понимаем, что имеем дело с квадратным уравнением. Осталось только найти корень в уравнении $x+ 6= 0$ , откуда $x = −6$ .

Ответ: -6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#71024Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $1+ 8(3x +7)= 9.$

Показать ответ и решение

Раскрываем скобки:

$1+ 24x+ 56= 9,$

$24x= −48,$

$x= − 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#91319Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(x +2)4+ (x+ 2)2 − 12 =0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите произведение корней.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 2)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 2)4 = (x+ 2)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ t− 12= 0 2 2 D = 1 − 4⋅(−12)= 1+ 48= 49= 7 t= −1-±7- [ 2 t= 3 t= −4

Сделаем обратную замену:

[(x+ 2)2 = 3 2 (x+ 2) = −4

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 2)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +2)2 = 3 (x+ 2)2 − 3 = 0 2 (√ -)2 (x + 2) − 3 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 2) − 3 = 0 ( √-) ( √-) x+ 2− 3 x+ 2+ 3 = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

[ √- [ √- x+ 2− √3 =0 ⇔ x = −2+ √3 x+ 2+ 3 =0 x = −2− 3

Мы получили два корня. Их произведение равно

( ) ( ) ( ) −2 +√3- ⋅ −2 − √3 = (−2)2− √3 2 = 4 − 3 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#126479Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $5(x +4)= − 9.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

5(x +4)= − 9 5x+ 20= −9 5x = −29 29 x= − 5 x= −5,8

Ответ: -5,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#17114Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного решения, в ответе укажите 0000, если уравнение не имеет корней, укажите в ответе 1111.

( ) 2 6 3x− 1 + (− 2x − 3) = 2(x − 3)

Показать ответ и решение

$pict$

Получили заведомо неверное тождество: уравнение не имеет корней.

Ответ: 1111

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#36103Максимум баллов за задание: 1

Сколько корней имеют квадратные уравнения?

1.: $x2− 5x + 6= 0;$
2.: $3x2+x − 1= 0;$
3.: $2x2− 5x + 5= 0;$
4.: $x2+ 4x + 4= 0.$

В ответе укажите последовательность из чисел, обозначающих количество корней в соответствующем уравнении.

Показать ответ и решение

Напомним, что дискриминант уравнения $ax2+ bx+ c= 0$ выражается следующим образом: $D = b2 − 4ac.$ При $D > 0$ уравнение имеет два различных корня. При $D = 0$ уравнение имеет один корень. При $D < 0$ уравнение не имеет корней.

1.: $x2− 5x + 6= 0.$ $D = 52− 4⋅1⋅6= 1> 0.$ Следовательно, это уравнение имеет 2 различных корня.
2.: $2 3x +x − 1= 0.$ $2 D = 1 − 4 ⋅3⋅(− 1)= 13> 0.$ Следовательно, это уравнение имеет 2 различных корня.
3.: $2x2− 5x + 5= 0.$ $D = 52 − 4 ⋅2⋅5= −15 <0.$ Следовательно, это уравнение не имеет корней.
4.: $2 x + 4x + 4= 0.$ $2 D = 4 − 4⋅1⋅4= 0.$ Следовательно, это уравнение имеет 1 корень.

Ответ: 2201