15.07 Прочие прототипы

Максимальный размер множества : . Будем выкидывать из него элементы, чтобы найти минимальную сумму.

Очевидно, что при любом чётном первая скобка всегда будет истинной, и неважно, входит в множество или нет. Значит, из множества можно убрать все чётные элементы, то есть

При или в качестве можно взять число , тогда будет верна третья скобка, и неважно, входит в множество или нет. Значит, из множества можно убрать элементы и , то есть

Тогда минимальная сумма элементов равна: .

 

Неверное решение программой:

a = []
for x in range(1, 10):
    if ((x % 2 == 0) or (x in a) or (any(y*x % 15 == 0 for y in a))) == 0:
        a.append(x)
print(a)

В данной задаче стандартное решение программой ошибочно, поскольку оно не учитывает, что, если в множестве будет элемент , то элементы и можно не добавлять в множество, поскольку они оба в произведении с кратны . Тогда итоговая сумма будет меньше той, что получила программа.

Программное решение:

Решение программой

Мы будем использовать перебор для нахождения минимального , при котором логическая формула выполняется для всех натуральных . Для этого реализуем цикл по кандидатам , внутри которого проверяем формулу для всех в разумном диапазоне (например, от 1 до 239).

1. Запишем формулу в Python:

- Проверка делимости на 13: x % 13 == 0 соответствует ДЕЛ.

- Проверка суммы на больше нуля: x + 25 > 0 соответствует СУММБОЛ.

- Отрицание: not (x + 25 > 0) соответствует СУММБОЛ.

- Импликация реализуем как <= между булевыми выражениями.

- Складываем с и проверяем неравенство x + a >= 245.

- Полная формула для конкретного и :

((x % 13 == 0) <= (not x + 25 > 0)) or (x + a >= 245)

2. Перебор кандидатов :

- Запускаем цикл for a in range(1, 500): для проверки всех возможных от 1 до 499.

- Инициализируем флаг f = True, который показывает, нарушена ли формула для текущего .

3. Проверка формулы для всех :

- Для каждого в диапазоне range(1, 240) проверяем формулу.

- Если формула ложна для какого-либо , устанавливаем f = False и прерываем цикл по , так как текущий не подходит.

4. Выбор минимального :

- Если флаг f остался равным True после проверки всех , значит формула выполняется для всех при данном .

- Выводим это значение и прекращаем перебор, так как нам нужно минимальное.

# Перебор возможных значений A
for a in range(1, 500):  # кандидаты на минимальное A
    f = True  # флаг нарушения формулы для текущего A
    # проверяем формулу для всех x
    for x in range(1, 240):  # перебор x
        # если формула ложна для текущего x, поднимаем флаг
        if not (((x % 13 == 0) <= (not x + 25 > 0)) or x + a >= 245):
            f = False  # текущее A не подходит
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим A
    if f:
        print(a)
        break

Решение программой

Мы будем использовать программный перебор для нахождения минимального . Для этого реализуем функцию, которая проверяет, могут ли три числа быть углами одного треугольника, и затем проверим формулу для всех значений от 1 до достаточно большого числа, например 10000.

1. Запишем проверку углов треугольника в Python:

- Функция angle(a, b, c) возвращает True, если , что соответствует существованию треугольника с такими углами.

2. Перебор всех возможных :

- Запускаем цикл for a in range(1, 1000):, где a — кандидат на минимальное .

- Инициализируем флаг f = 0, который показывает, нарушена ли формула для текущего .

3. Проверка формулы для всех :

- Для каждого в диапазоне range(1, 10000) проверяем логическую формулу.

- Формула в Python:

(angle(a, 15, x + 25) == angle(x, a, 60) and (a + 10 >= 100))

- Если формула ложна для любого , поднимаем флаг f = 1 и прерываем цикл по .

4. Выбор минимального :

- Если флаг f остался равным 0 после проверки всех , значит формула истинна для всех при данном .

- Выводим это значение и прекращаем перебор.

# Функция проверяет, могут ли три числа быть углами треугольника
def angle(a, b, c):
    return (a + b + c) == 180

# Перебор возможных значений A
for a in range(1, 1000):  # кандидаты для A
    f = 0  # флаг нарушения формулы
    # проверяем формулу для всех x
    for x in range(1, 10000):  # перебор x
        # если формула ложна, поднимаем флаг
        if (angle(a, 15, x + 25) == angle(x, a, 60) and (a + 10 >= 100)) == False:
            f = 1  # формула не выполняется для данного a
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим результат
    if f == 0:
        print(a)
        break

Раскрываем импликацию и упрощаем выражение, получаем:

Выполним отрицание известной части:

Разберёмся, когда первый треугольник не будет остроугольным и когда второй треугольник не будет тупоугольным. При или треугольник (39, 80, x) не существует. При или треугольник (65, 72, x) не существует. По условию в функции ОСТРОУГ(a, b, c) и ТУПОУГ(a, b, c) подаются аргументы по возрастанию, поэтому x будет являться наибольшей стороной.

Треугольник является остроугольным, когда и является тупоугольным при . Таким образом, получаем, что для остроугольный треугольник не существует при , то есть при . Аналогично для , тупоугольный треугольник не существует при , то есть при .

Получаем, что отрицаемая известная часть будет истинна при .

Чтобы выражение было истинно при всех , найденные должны принадлежать А. Следовательно, минимальная длина обеспечивается, когда . Таким образом, длина равна .

Решение программой

    minlen=10**6

    def tup(a, b, c): # Функция, проверяющая треугольник на тупой угол
        if (a <= b <= c) and (a + b > c) and (a**2 + b**2 < c**2):
            return True
        else:
            return False

    def ostr(a, b, c):
        if (a <= b <= c) and (a + b > c) and (a**2 + b**2 > c**2):
            return True
        else:
            return False

    def f(x, a1, a2):
        return (ostr(39, 80, x) or tup(65, 72, x) or ((x <= 80 or x >= 119) or (a1 <= x <= a2)))
        # a1 и a2 - начало и конец отрезка

    for a1 in range(100):
        for a2 in range(a1 + 1, 100):
            if all(f(x, a1, a2) for x in range (1,130)):
            minl=min (minl, a2-a1) print (minl) # Вывод ответа
    

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

for A in range(100, 1, -1):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if not((triangle(x, 11, 18) == (not(max(x, 5) > 15))) and triangle(x, A, 5)) == False:
            flag = False
    if flag:
        print(A)
        break

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

for A in range(100, 1, -1):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if not((triangle(x, 12, 20) == (not(max(x, 5) > 28))) and triangle(x, A, 3)) == False:
            flag = False
    if flag:
        print(A)
        break

Решение прогой:

Зададим функцию triangle, проверяющую, что числа могут быть сторонами треугольника (самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других). Она будет возвращать True или False. Далее переберём A и x, для проверки заданных условий. Переменная-флаг будет контролировать, что А прошло все необходимые проверки. Если все условия соблюдены и при всех х flag остался True - увеличим счётчик, который в итоге выведем.

def triangle(a, b, c): # Функция проверки сторон треугольника
    a, b, c = sorted([a, b, c]) # Найдём, какая сторона самая длинная с помощью сортировки
    return a + b > c # Самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других

counter = 0 # Счётчик подходящих А
for A in range(1, 100): # Перебор А
    flag = True # Флаг для проверки всех условий
    for x in range(1, 100): # Перебор x
        # Проверка А при всех х
        if (triangle(x, 25, 36) or triangle(x, 28, 55) or triangle(max(x, 20), 40, A) or (x > 80)) == False:
            flag = False # Если условия нарушены
    if flag: # Если всё хорошо - увеличим счётчик
        counter += 1
print(counter) # Ответ

Решение прогой:

Зададим функцию triangle, проверяющую, что числа могут быть сторонами треугольника (самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других). Она будет возвращать True или False. Далее переберём A и x, для проверки заданных условий. Переменная-флаг будет контролировать, что А прошло все необходимые проверки. Если все условия соблюдены и при всех х flag остался True - увеличим счётчик, который в итоге выведем.

def triangle(a, b, c): # Функция проверки сторон треугольника
    a, b, c = sorted([a, b, c]) # Найдём, какая сторона самая длинная с помощью сортировки
    return a + b > c # Самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других

counter = 0 # Счётчик подходящих А
for A in range(1, 100): # Перебор А
    flag = True # Флаг для проверки всех условий
    for x in range(1, 100): # Перебор x
        if (triangle(x, 10, 28) or triangle(x, 14, 56) or triangle(max(x, 20), 25, A) or (x > 60)) == False:
            flag = False # Если условия нарушены
    if flag: # Если всё хорошо - увеличим счётчик
        counter += 1
print(counter) # Ответ

Решение прогой:

Зададим функцию triangle, проверяющую, что числа могут быть сторонами треугольника (самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других). Она будет возвращать True или False. Далее переберём A и x, для проверки заданных условий. Переменная-флаг будет контролировать, что А прошло все необходимые проверки. Если все условия соблюдены и при всех х flag остался True - увеличим переменную, которую в итоге выведем.

def triangle(a, b, c): # Функция проверки сторон треугольника
    a, b, c = sorted([a, b, c]) # Найдём, какая сторона самая длинная с помощью сортировки
    return a + b > c # Самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других

summa = 0 # Сумма всех подходящих А
for A in range(1, 1000): # Перебор А
    flag = True # Флаг для проверки всех условий
    for x in range(1, 1000): # Перебор x
        if (not(not triangle(x, 546, A) and not triangle(777, x, A)) or x > 1000) == False:
            flag = False  # Если условия нарушены
    if flag: # Если всё хорошо - увеличим переменную
        summa += A
print(summa) # Ответ

Решение рекурсивным перебором и проверкой треугольников

Идея решения заключается в следующем:

1. Определяем функцию triangle(a, b, c), которая проверяет, существует ли треугольник с заданными сторонами:

- Для трёх сторон сначала сортируем их по возрастанию.

- Проверяем условие треугольника: сумма двух меньших сторон больше третьей, то есть .

- Функция возвращает True, если треугольник существует, и False в противном случае.

2. Организуем перебор всех возможных значений :

- Перебираем от 1 до 999 (натуральные числа в разумном диапазоне).

3. Для каждого проверяем тождественную истинность формулы:

- Создаём переменную flag = True, которая будет указывать, что формула верна для всех .

- Перебираем все от 1 до 999.

- Проверяем формулу для каждого :

- Выражение not(not triangle(x, 333, A) and not triangle(879, x, A)) or (x > 600).

- Если выражение ложно хотя бы для одного , устанавливаем flag = False.

- Если после проверки всех flag = True, добавляем к сумме.

4. После перебора всех выводим полученную сумму.

# Функция для проверки существования невырожденного треугольника
def triangle(a, b, c):
    # Сортируем стороны по возрастанию
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    # Проверяем условие треугольника: сумма двух меньших сторон > третьей
    return a + b > c

# Переменная для накопления суммы подходящих A
summa = 0

# Перебираем все натуральные числа A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    flag = True  # Флаг: True, если формула тождественно истинна для данного A
    # Перебор всех натуральных x
    for x in range(1, 1000):
        # Проверяем формулу для текущего x и A
        if (not(not triangle(x, 333, A) and not triangle(879, x, A)) or (x > 600)) == False:
            flag = False  # Если формула ложна для хотя бы одного x, A не подходит
    # Если формула истинна для всех x, добавляем A к сумме
    if flag:
        summa += A

# Выводим сумму всех подходящих A
print(summa)

Решение программой

Идея решения состоит в следующем:

1. Создаём функцию triangle(a, b, c), проверяющую существование треугольника с заданными сторонами:

- Сначала сортируем стороны по возрастанию, чтобы корректно проверить неравенство треугольника.

- Проверяем, выполняется ли неравенство для трёх сторон.

- Функция возвращает True, если треугольник существует, и False в противном случае.

2. Организуем перебор всех возможных значений :

- Перебираем от 1 до 99 (натуральные числа в разумном диапазоне).

3. Для каждого значения проверяем тождественную истинность формулы:

- Создаём переменную flag = True, которая будет показывать, что формула верна для всех .

- Перебираем от 1 до 99.

- Для каждого проверяем формулу:

- Выражение triangle(x, 20, 45) or triangle(x, 15, 50) or triangle(max(x, 16), 36, A) or (x > 75).

- Если формула ложна хотя бы для одного , устанавливаем flag = False.

- Если после проверки всех flag = True, увеличиваем счётчик counter.

4. После перебора всех выводим значение счётчика, которое является количеством подходящих натуральных чисел .

# Функция для проверки существования невырожденного треугольника
def triangle(a, b, c):
    # Сортируем стороны по возрастанию для корректной проверки неравенства треугольника
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    # Проверяем условие треугольника: сумма двух меньших сторон > третьей
    return a + b > c

# Счётчик количества подходящих чисел A
counter = 0

# Перебор всех натуральных чисел A от 1 до 99
for A in range(1, 100):
    flag = True  # Флаг: True, если формула тождественно истинна для данного A
    # Перебор всех натуральных x от 1 до 99
    for x in range(1, 100):
        # Проверяем формулу для текущего x и A
        if (triangle(x, 20, 45) or triangle(x, 15, 50) or triangle(max(x, 16), 36, A) or (x > 75)) == False:
            flag = False  # Если формула ложна хотя бы для одного x, A не подходит
    # Если формула истинна для всех x, увеличиваем счётчик
    if flag:
        counter += 1

# Выводим количество подходящих чисел A
print(counter)

Решение программой

Идея решения заключается в следующем:

1. Создаём функцию triangle(a, b, c), которая проверяет, может ли существовать невырожденный треугольник с заданными сторонами:

- Сначала сортируем три стороны по возрастанию с помощью sorted([a, b, c]).

- Проверяем неравенство треугольника , где и — две меньшие стороны, — наибольшая.

- Если условие выполняется, функция возвращает True, иначе False.

2. Организуем перебор всех возможных значений :

- Используем цикл for A in range(1, 1000), перебирая натуральные числа до разумного верхнего предела.

3. Для каждого значения проверяем, является ли формула тождественно истинной:

- Создаём переменную flag = True, которая изначально показывает, что формула верна для всех .

- Перебираем все натуральные от 1 до 999.

- Для каждого проверяем выражение:

• not(not triangle(x, 111, A) and not triangle(101, x, A)) or x > 200

- Если для какого-либо выражение оказывается ложным, устанавливаем flag = False, так как формула перестаёт быть тождественно истинной для этого .

4. Если после проверки всех flag = True, добавляем текущее к сумме summa.

5. После перебора всех выводим результат — сумму всех подходящих натуральных чисел .

# Функция для проверки существования невырожденного треугольника
def triangle(a, b, c):
    # Сортируем стороны по возрастанию для корректной проверки неравенства треугольника
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    # Проверяем условие треугольника: сумма двух меньших сторон > третьей
    return a + b > c

# Переменная для хранения суммы всех подходящих A
summa = 0

# Перебор всех натуральных чисел A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    flag = True  # Флаг: True, если формула тождественно истинна для данного A
    # Перебор всех натуральных чисел x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # Проверяем формулу для текущего x и A
        if (not(not triangle(x, 111, A) and not triangle(101, x, A)) or x > 200) == False:
            flag = False  # Если формула ложна хотя бы для одного x, A не подходит
    # Если формула истинна для всех x, добавляем A к сумме
    if flag:
        summa += A

# Выводим сумму всех подходящих чисел A
print(summa)

Решение программой

Идея решения заключается в следующем:

1. Создаём функцию triangle(a, b, c), которая проверяет, может ли существовать невырожденный треугольник с заданными сторонами:

- Сортируем три стороны по возрастанию с помощью sorted([a, b, c]).

- Проверяем неравенство треугольника , где и — две меньшие стороны, — наибольшая.

- Если условие выполняется, функция возвращает True, иначе False.

2. Организуем перебор всех возможных значений :

- Используем цикл for A in range(1, 100), перебирая натуральные числа до разумного верхнего предела.

3. Для каждого значения проверяем, является ли формула тождественно истинной:

- Создаём переменную flag = True, которая показывает, что формула верна для всех .

- Перебираем все натуральные от 1 до 99.

- Для каждого проверяем выражение:

• not((triangle(x, 6, 10) == (not(max(x, 7) > 35))) and triangle(x, A, 5)) == False

- Если для какого-либо выражение оказывается ложным, устанавливаем flag = False, так как формула перестаёт быть тождественно истинной для этого .

4. Если после проверки всех flag = True, выводим текущее , так как оно удовлетворяет условию задачи.

# Функция для проверки существования невырожденного треугольника
def triangle(a, b, c):
    # Сортируем стороны по возрастанию для корректной проверки неравенства треугольника
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    # Проверяем условие треугольника: сумма двух меньших сторон > третьей
    return a + b > c

# Перебор возможных натуральных чисел A от 1 до 99
for A in range(1, 100):
    flag = True  # Флаг: True, если формула тождественно истинна для данного A
    # Перебор всех натуральных чисел x от 1 до 99
    for x in range(1, 100):
        # Проверяем формулу для текущего x и A
        if not((triangle(x, 6, 10) == (not(max(x, 7) > 35))) and triangle(x, A, 5)) == False:
            flag = False  # Если формула ложна хотя бы для одного x, A не подходит
    # Если формула истинна для всех x, выводим это значение A
    if flag:
        print(A)

Решение программой

Идея решения:

1. Мы будем перебирать все возможные значения начиная с 0, чтобы найти наименьшее, при котором формула всегда истинна.

2. Для каждого значения проверяем, что формула верна для всех пар с от 0 до 999:

- Используем два вложенных цикла for x in range(1000) и for y in range(1000).

- Проверяем выражение:

• 

- Если для какой-то пары формула ложна, текущее не подходит.

3. Для фиксации состояния формулы используем переменную flag:

- Изначально flag = True, предполагая, что формула истинна для всех и .

- Если найдена пара , для которой формула ложна, устанавливаем flag = False и прерываем внутренние циклы, так как дальнейшие проверки для этого не нужны.

4. Если после проверки всех flag = True, выводим значение и прекращаем перебор, так как нашли минимальное , удовлетворяющее условию.

# Перебираем возможные значения A начиная с 0
for A in range(1000):
    flag = True  # Флаг: True если формула тождественно истинна для данного A
    # Перебор всех возможных x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # Перебор всех возможных y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # Проверяем формулу для текущих x, y и A
            if not((x < A) or (y < A) or ((x * y) % 3 == 0) or (4*x + 2*y != 150)):
                flag = False  # Если формула ложна хотя бы для одной пары (x, y)
                break  # Прерываем внутренний цикл по y
        if not(flag):  # Если формула ложна для текущего x, прерываем цикл по x
            break
    # Если формула истинна для всех x и y, выводим найденное минимальное A
    if flag:
        print(A)
        break  # Завершаем перебор, так как минимальное A найдено

Решение программой

1. Мы будем перебирать значения от 0 до 999, чтобы найти максимальное, при котором формула истинна для всех от 1 до 1000.

2. Создадим функцию f(x), которая проверяет истинность формулы для конкретного :

- Проверяем, делится ли на 5 и 11 одновременно.

- Если да, проверяем, что хотя бы одно из условий истинно:

* (поразрядная конъюнкция с 17 не равна 0),

* (поразрядная конъюнкция с 64 равна 0),

* .

3. Для каждого проверяем все от 1 до 1000:

- Если хотя бы для одного формула ложна, текущее не подходит.

- Используем переменную flag для фиксации состояния проверки.

4. Если формула истинна для всех , обновляем максимальное найденное и продолжаем перебор, чтобы найти ещё большее значение.

# Перебор всех x для проверки формулы при текущем A
def f(x):
    # Проверяем истинность выражения для конкретного x и текущего A
    return (((x % 5 == 0) and (x % 11 == 0)) <= \
        (((x & 17 != 0) or (x & 64 == 0)) or (A * x <= 190387)))

# Инициализируем переменную для хранения максимального A
ans = 0

# Перебираем все возможные значения A от 0 до 999
for A in range(1000):
    # Флаг: True если формула тождественно истинна для всех x при текущем A
    flag = True
    # Проверяем все x от 1 до 1000
    for x in range(1, 1001):
        # Если формула ложна хотя бы для одного x
        if not f(x):
            flag = False  # Меняем флаг
            break  # Прерываем цикл по x, так как текущий A не подходит
    # Если формула истинна для всех x, обновляем максимальное A
    if flag:
        ans = max(ans, A)
# Выводим найденное максимальное значение A
print(ans)

Решение программой

1. Мы определяем функцию inn(x, P), которая проверяет, принадлежит ли число отрезку . Это необходимо для удобной проверки условий формулы в Python.

2. Создаем функцию f(x, A), которая возвращает True, если формула выполняется для конкретного и выбранного :

- Проверяем, делится ли на 10;

- Проверяем, не принадлежит ли отрезку ;

- Проверяем, что поразрядная конъюнкция равна нулю;

- Если , проверяем, что .

3. Перебираем значения начиная с 1. Для каждого :

- Инициализируем флаг flag = True, который показывает, что формула пока истинна для всех ;

- Проверяем все в диапазоне от -1000 до 999 (можно брать широкий диапазон, включающий отрицательные и положительные числа);

- Если для какого-то формула ложна, устанавливаем flag = False и прерываем цикл по .

4. Если после проверки всех флаг остался True, текущее является наименьшим, удовлетворяющим условию. Выводим и прерываем цикл перебора.

# Функция для проверки принадлежности x отрезку P
def inn(x, P):
    # Проверяем, находится ли x между P[0] и P[1]
    return P[0] <= x <= P[1]

# Функция для проверки истинности формулы при конкретном x и A
def f(x, A):
    Q = [16, 64]  # Отрезок Q
    P = [48, 96]  # Отрезок P
    # Проверяем все части формулы через логическое ИЛИ
    return ((x % 10 == 0) or  # x делится на 10
            (not inn(x, Q)) or  # x не принадлежит Q
            (x & A == 0) or  # поразрядная конъюнкция с A равна 0
            ((inn(x, P)) <= (abs(x - 30) >= 20)))  # если x в P, проверяем |x-30|>=20

# Перебор возможных значений A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    # Флаг, показывающий, что формула истинна для всех x при текущем A
    flag = True
    # Перебор значений x от -1000 до 999
    for x in range(-1000, 1000):
        # Если формула ложна для x, меняем флаг и прерываем цикл
        if not f(x, A):
            flag = False
            break
    # Если формула истинна для всех x, выводим найденное минимальное A и завершаем поиск
    if flag:
        print(A)
        break

Решение программой

1. Мы создаем функцию inn(x, P), которая проверяет, принадлежит ли число отрезку . Это необходимо для удобной проверки условий формулы в Python.

2. Определяем функцию f(x, A), которая возвращает True, если формула выполняется для конкретного и выбранного :

- Проверяем, что не делится на 5 и не принадлежит множеству (правая часть импликации активна только если оба условия выполняются);

- Проверяем, что если , то , иначе условие считается истинным;

- Проверяем, что поразрядная конъюнкция равна нулю, что также делает выражение истинным.

3. Перебираем значения начиная с 1. Для каждого :

- Инициализируем флаг flag = True, который показывает, что формула пока истинна для всех ;

- Проверяем все в диапазоне от -100 до 999 (широкий диапазон для проверки отрицательных и положительных значений);

- Если для какого-то формула ложна, устанавливаем flag = False и прерываем цикл по .

4. Если после проверки всех флаг остался True, текущее является наименьшим, удовлетворяющим условию. Выводим и прерываем цикл перебора.

# Функция для проверки принадлежности x отрезку P
def inn(x, A):
    # Проверяем, находится ли x между A[0] и A[1]
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция для проверки истинности формулы при конкретном x и A
def f(x, A):
    S = {43, 23, 76} # Множество S
    Q = [8, 48] # Отрезок Q
    # Проверяем импликацию: если x не делится на 5 и x не в S, то выполняется одно из условий правой части
    return (((x % 5 != 0) and (not (x in S))) <=
            (((abs(x - 40) <= 11) <= (inn(x, Q))) or (x & A == 0)))

# Перебор возможных значений A от 1 до 999
for A in range(1, 1000):
    # Флаг, показывающий, что формула истинна для всех x при текущем A
    flag = True
    # Перебор значений x от -100 до 999
    for x in range(-100, 1000):
        # Если формула ложна для x, меняем флаг и прерываем цикл
        if not f(x, A):
            flag = False
            break
    # Если формула истинна для всех x, выводим найденное минимальное A и завершаем поиск
    if flag:
        print(A)
        break

Решение программой

1. Мы создаем функцию inn(x, A), которая проверяет, находится ли число на отрезке . Эта функция возвращает True, если принадлежит промежутку , и False в противном случае. Это позволяет удобно проверять в формуле условия , и .

2. Определяем функцию f(x, A), которая возвращает True, если формула выполняется для конкретного и выбранного промежутка :

- Проверяем, что не делится на 5.5 и не делится на 4, либо , либо ;

- Проверяем, что если , то , иначе условие считается истинным;

- Объединяем обе части с помощью логического and, чтобы реализовать полное выражение формулы.

3. Для поиска максимальной длины промежутка мы задаем дискретизацию чисел с шагом , где , чтобы корректно работать с дробными делителями 5.5 и 4. Это позволяет перебрать возможные значения начала и конца отрезка с дробной точностью.

4. Перебираем все возможные начала и конца отрезка :

- Для каждого кандидата проверяем, выполняется ли формула для всех натуральных от 1 до 69 (так как верхняя граница 70);

- Если формула ложна хотя бы для одного , отрезок отбрасывается.

5. Если формула выполняется для всех , проверяем длину текущего и обновляем максимальную длину и границы, если она больше предыдущей найденной.

6. После перебора всех вариантов выводим границы отрезка с максимальной длиной и саму длину.

# Функция проверки принадлежности x отрезку A
def inn(x, A):
    # Проверяем, что x находится между A[0] и A[1]
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверки истинности формулы для конкретного x и промежутка A
def f(x, A):
    P = [13, 25]  # Отрезок P
    Q = [18, 35]  # Отрезок Q
    # Проверяем первую часть формулы: x не делится на 5.5 и на 4, либо x не в Q, либо x не в A
    # Объединяем с проверкой второй части формулы: x в P или x не в A
    return (((x % 5.5 != 0) and (x % 4 != 0) or (not inn(x, Q)) \
             or (not inn(x, A))) and (inn(x, P) or (not inn(x, A))))

# Инициализация переменных для хранения максимальной длины и границ отрезка
ans, n = 0, 15          # ans - максимальная длина, n - дискретизация для дробей
borders = [0, 0]        # borders - границы найденного промежутка A

# Перебор возможных начала отрезка a
for a in range(1 * n, 70 * n):
    # Перебор возможных концов отрезка b
    for b in range(a, 70 * n):
        A = [a / n, b / n]  # Создаем текущий отрезок A с дробной точностью
        flag = True         # Флаг, показывающий, что формула верна для всех x
        # Перебор всех натуральных чисел x в диапазоне от 1 до 69
        for x in range(1, 70 * n):
            # Если формула ложна для x, меняем флаг и прерываем цикл
            if not f(x, A):
                flag = False
                break
        # Если формула верна для всех x, проверяем длину отрезка и обновляем максимум
        if flag:
            if A[1] - A[0] > ans:
                ans = A[1] - A[0]    # Обновляем максимальную длину
                borders[0] = A[0]    # Обновляем левую границу
                borders[1] = A[1]    # Обновляем правую границу

# Выводим найденные границы отрезка A с максимальной длиной
                                                                                                     
                                                                                                     
print(borders)
# Выводим максимальную длину отрезка
print(ans)

Видим, что программа вывела промежуток и его длину .

Значит, ответом является промежуток с дробными границами, левая граница которого стремится к , а правая к , тогда длина стремится к .

Решение программой

1. Мы создаем функцию inn(x, A), которая проверяет, принадлежит ли число промежутку . Эта функция возвращает True, если находится между границами , и False в противном случае. Это позволяет удобно проверять условия и .

2. Определяем функцию f(x, y, A), которая проверяет истинность формулы для конкретных значений , и отрезка :

- Проверяем, что не делится на 5 и , тогда должно выполняться условие ;

- Объединяем с проверкой дополнительной части формулы: , либо , либо ;

- Если хотя бы одно из условий истинно, функция возвращает True, что соответствует тождественной истинности для данной пары .

3. Задаем дискретизацию чисел для отрезка с шагом , где , чтобы корректно работать с дробными числами при проверках и обеспечить возможность точного перебора всех кандидатов для .

4. Перебираем все возможные начала и концы отрезка в диапазоне от до , учитывая дискретизацию:

- Для каждого кандидата проверяем формулу для всех натуральных чисел и в диапазоне , ;

- Если формула ложна хотя бы для одной пары , отрезок отбрасывается.

5. Если формула выполняется для всех , вычисляем длину текущего отрезка и обновляем максимальную длину, если она больше предыдущей найденной.

6. После перебора всех вариантов выводим максимальную длину промежутка .

# Функция проверки принадлежности x промежутку A
def inn(x, A):
    # Возвращает True, если x находится между границами A[0] и A[1]
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверки истинности формулы для конкретных x, y и промежутка A
def f(x, y, A):
    S = {25, 28, 45, 48, 57, 67}  # Множество S
    # Проверяем первую часть формулы: если x не делится на 5 и y не в S, то x>5 => y>13
    # Объединяем с дополнительными условиями: x*y <= 67, x не в A или y не в A
    return (((x % 5 != 0) and (not y in S)) <= ((x > 5) <= (y > 13))) \
        or (x * y <= 67) or (not inn(x, A)) or (not inn(y, A))

# Задаем дискретизацию для перебора дробных значений отрезка A
n = 5
ans = 0  # Максимальная длина промежутка A

# Перебор начала отрезка a с учетом дискретизации
for a in range(1 * n, 50 * n):
    # Перебор конца отрезка b с учетом, что правая граница не больше 50
    for b in range(a, 50 * n + 1):  # +1 чтобы проверить саму точку b
        A = [a / n, b / n]  # Создаем текущий отрезок A
        flag = True  # Флаг, показывающий, что формула выполняется для всех x и y
        # Перебор всех натуральных x в диапазоне [1, 99]
        for x in range(1, 100):
            # Перебор всех натуральных y в диапазоне [1, 14]
            for y in range(1, 15):
                # Если формула ложна для пары (x, y), меняем флаг и прерываем цикл
                if not f(x, y, A):
                    flag = False
                    break
            # Прерываем цикл по x, если флаг равен False
            if not flag:
                break
        # Если формула выполняется для всех (x, y), обновляем максимальную длину
        if flag:
            ans = max(ans, A[1] - A[0])

                                                                                                     
                                                                                                     
# Выводим максимальную длину промежутка A
print(ans)

Видим, что программа выдаёт результат 36.8 – это значит, что ответ стремится к 37.