15.07 Прочие прототипы

Решение программой

1. Мы создаем функцию inn(x, A), которая проверяет, находится ли число на отрезке . Эта функция возвращает True, если принадлежит промежутку , и False в противном случае. Это позволяет удобно проверять в формуле условия , и .

2. Определяем функцию f(x, A), которая возвращает True, если формула выполняется для конкретного и выбранного промежутка :

- Проверяем, что не делится на 5.5 и не делится на 4, либо , либо ;

- Проверяем, что если , то , иначе условие считается истинным;

- Объединяем обе части с помощью логического and, чтобы реализовать полное выражение формулы.

3. Для поиска максимальной длины промежутка мы задаем дискретизацию чисел с шагом , где , чтобы корректно работать с дробными делителями 5.5 и 4. Это позволяет перебрать возможные значения начала и конца отрезка с дробной точностью.

4. Перебираем все возможные начала и конца отрезка :

- Для каждого кандидата проверяем, выполняется ли формула для всех натуральных от 1 до 69 (так как верхняя граница 70);

- Если формула ложна хотя бы для одного , отрезок отбрасывается.

5. Если формула выполняется для всех , проверяем длину текущего и обновляем максимальную длину и границы, если она больше предыдущей найденной.

6. После перебора всех вариантов выводим границы отрезка с максимальной длиной и саму длину.

# Функция проверки принадлежности x отрезку A
def inn(x, A):
    # Проверяем, что x находится между A[0] и A[1]
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверки истинности формулы для конкретного x и промежутка A
def f(x, A):
    P = [13, 25]  # Отрезок P
    Q = [18, 35]  # Отрезок Q
    # Проверяем первую часть формулы: x не делится на 5.5 и на 4, либо x не в Q, либо x не в A
    # Объединяем с проверкой второй части формулы: x в P или x не в A
    return (((x % 5.5 != 0) and (x % 4 != 0) or (not inn(x, Q)) \
             or (not inn(x, A))) and (inn(x, P) or (not inn(x, A))))

# Инициализация переменных для хранения максимальной длины и границ отрезка
ans, n = 0, 15          # ans - максимальная длина, n - дискретизация для дробей
borders = [0, 0]        # borders - границы найденного промежутка A

# Перебор возможных начала отрезка a
for a in range(1 * n, 70 * n):
    # Перебор возможных концов отрезка b
    for b in range(a, 70 * n):
        A = [a / n, b / n]  # Создаем текущий отрезок A с дробной точностью
        flag = True         # Флаг, показывающий, что формула верна для всех x
        # Перебор всех натуральных чисел x в диапазоне от 1 до 69
        for x in range(1, 70 * n):
            # Если формула ложна для x, меняем флаг и прерываем цикл
            if not f(x, A):
                flag = False
                break
        # Если формула верна для всех x, проверяем длину отрезка и обновляем максимум
        if flag:
            if A[1] - A[0] > ans:
                ans = A[1] - A[0]    # Обновляем максимальную длину
                borders[0] = A[0]    # Обновляем левую границу
                borders[1] = A[1]    # Обновляем правую границу

# Выводим найденные границы отрезка A с максимальной длиной
                                                                                                     
                                                                                                     
print(borders)
# Выводим максимальную длину отрезка
print(ans)

Видим, что программа вывела промежуток и его длину .

Значит, ответом является промежуток с дробными границами, левая граница которого стремится к , а правая к , тогда длина стремится к .