15.07 Прочие прототипы

Решение программой

1. Мы создаем функцию inn(x, A), которая проверяет, принадлежит ли число промежутку . Эта функция возвращает True, если находится между границами , и False в противном случае. Это позволяет удобно проверять условия и .

2. Определяем функцию f(x, y, A), которая проверяет истинность формулы для конкретных значений , и отрезка :

- Проверяем, что не делится на 5 и , тогда должно выполняться условие ;

- Объединяем с проверкой дополнительной части формулы: , либо , либо ;

- Если хотя бы одно из условий истинно, функция возвращает True, что соответствует тождественной истинности для данной пары .

3. Задаем дискретизацию чисел для отрезка с шагом , где , чтобы корректно работать с дробными числами при проверках и обеспечить возможность точного перебора всех кандидатов для .

4. Перебираем все возможные начала и концы отрезка в диапазоне от до , учитывая дискретизацию:

- Для каждого кандидата проверяем формулу для всех натуральных чисел и в диапазоне , ;

- Если формула ложна хотя бы для одной пары , отрезок отбрасывается.

5. Если формула выполняется для всех , вычисляем длину текущего отрезка и обновляем максимальную длину, если она больше предыдущей найденной.

6. После перебора всех вариантов выводим максимальную длину промежутка .

# Функция проверки принадлежности x промежутку A
def inn(x, A):
    # Возвращает True, если x находится между границами A[0] и A[1]
    return A[0] <= x <= A[1]

# Функция проверки истинности формулы для конкретных x, y и промежутка A
def f(x, y, A):
    S = {25, 28, 45, 48, 57, 67}  # Множество S
    # Проверяем первую часть формулы: если x не делится на 5 и y не в S, то x>5 => y>13
    # Объединяем с дополнительными условиями: x*y <= 67, x не в A или y не в A
    return (((x % 5 != 0) and (not y in S)) <= ((x > 5) <= (y > 13))) \
        or (x * y <= 67) or (not inn(x, A)) or (not inn(y, A))

# Задаем дискретизацию для перебора дробных значений отрезка A
n = 5
ans = 0  # Максимальная длина промежутка A

# Перебор начала отрезка a с учетом дискретизации
for a in range(1 * n, 50 * n):
    # Перебор конца отрезка b с учетом, что правая граница не больше 50
    for b in range(a, 50 * n + 1):  # +1 чтобы проверить саму точку b
        A = [a / n, b / n]  # Создаем текущий отрезок A
        flag = True  # Флаг, показывающий, что формула выполняется для всех x и y
        # Перебор всех натуральных x в диапазоне [1, 99]
        for x in range(1, 100):
            # Перебор всех натуральных y в диапазоне [1, 14]
            for y in range(1, 15):
                # Если формула ложна для пары (x, y), меняем флаг и прерываем цикл
                if not f(x, y, A):
                    flag = False
                    break
            # Прерываем цикл по x, если флаг равен False
            if not flag:
                break
        # Если формула выполняется для всех (x, y), обновляем максимальную длину
        if flag:
            ans = max(ans, A[1] - A[0])

                                                                                                     
                                                                                                     
# Выводим максимальную длину промежутка A
print(ans)

Видим, что программа выдаёт результат 36.8 – это значит, что ответ стремится к 37.