Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#67149Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 1)2 5 4|x− 1|+ 2 = 11(x − 1)2+ 4

Источники: Вступительные в МГУ, 1994

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!

Подсказка 2

Останется просто квадратное уравнение относительно замены, а такое мы умеем решать)

Показать ответ и решение

Так как $(x − 1)2 = |x− 1|2,$ сделав замену $t=|x− 1|,$ получим

( 1)2 5 4t+ 2 =11t2+ 4

16t2+ 1+ 4t =11t2 + 5 4 4

5t2+ 4t− 1 =0

[ t= −1 t= 15

Так как $t≥ 0,$ то после обратной замены получаем

[ x= 65 x= 45

Ответ:

$6 ; 4 5 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#70343Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( ∘ ------2--) ( ∘ -2---) (2x+1) 2+ (2x+ 1) +3 +3x 2+ 9x + 3 = 0

Источники: Вступительные в МГУ, 1989

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на уравнение. Где есть похожие множители или слагаемые? Делать замену может быть неэффективным… что тогда можно рассмотреть?

Подсказка 2

Оба слагаемых в левой части имеют одинаковый вид: y(2+ √(y² + 3)). Быть может, рассмотрим такую функцию?

Подсказка 3

Наше равенство имеет вид f(2x+1)=-f(3x). Нам нужны корни. А что если проверить f(x) на монотонность и четность?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(y)=y (2 +∘y2-+-3) .$

При $y ≥ 0 f(y)$ возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций. При $y ≤ 0$ функция также возрастает. $f(0)=0.$

Итого, $f(y)$ — монотонно возрастающая функция. Заметим также, что эта функция нечетная, то есть $f(−y)= −f(y).$

Исходное неравенство принимает вид

f(2x+ 1)=− f(3x)

f(2x+ 1)=f(−3x)

В силу монотонности равенство возможно только в случае

1 2x+ 1= −3x ⇐⇒ x= − 5

Ответ:

$− 1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#89911Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство $√ ----- x− 3≤ 3− |x − 6|.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В неравенстве есть похожие выражения, давайте тогда сделаем замену r = √(x-3). Какой вид тогда примет неравенство?

Подсказка 2

r + |r² - 3| - 3 ≤ 0. Как можно работать с неравенствами с модулями?

Подсказка 3

Разобрать случаи и раскрыть модули! Когда под модульное выражение отрицательно, а когда — положительно?

Подсказка 4

Разберите случаи 0 ≤ r ≤ √3 и √3 < r. Не забываем про обратную замену и объединяем решения!

Показать ответ и решение

Пусть $√----- r = x − 3.$ Помним, что $r ≥ 0:$

2 r ≤ 3− |r − 3|,

2 r +|r − 3|− 3 ≤0.

Рассмотрим случай $0 ≤r ≤ √3$ (помним, что $r ≥ 0$ ). В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»:

2 r− r + 3− 3≤ 0,

r(1− r)≤ 0.

С учетом ограничения $√ - 0≤ r ≤ 3$ получаем, что $r = 0$ или $√- 1≤ r ≤ 3.$

Обратная замена:

$[ √x-−-3= 0, √----- √- 1≤ x − 3 ≤ 3.$

$[ x =3, 4≤ x≤ 6.$

Рассмотрим случай $√- r > 3:$

r+ r2− 3− 3≤ 0,

r2 +r − 6 ≤0,

(r+ 3)(r− 2)≤ 0,

−3≤ r ≤2.

С учетом ограничения $r > √3$ получаем, что $√3 < r ≤ 2.$

Обратная замена:

√ - √----- 3< x − 3≤ 2,

6 <x ≤ 7.

Объединяя решения в обоих случаях, получаем $x ∈{3}∪ [4;7].$

Ответ:

$x ∈{3}∪ [4;7].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90141Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $8x− 1= 4x2.$

Показать ответ и решение

Перед нами квадратное уравнение, решим его.

2 4x − 8x + 1= 0

2 √- 2 D = 8 − 4 ⋅4⋅1= 64− 16= 48= (4 3)

$⌊ 8− 4√3 2− √3 |x1 =---8---= --2--- |⌈ 8+ 4√3 2+ √3- x2 =---8---= --2---$

Ответ:

$√- 2−--3- x = 2$ , $√ - 2+---3 x = 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90143Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $---1-− x---+ 1= --1-. (2− x)(x− 3) 2 − x$

Показать ответ и решение

Приведём дроби к общему знаменателю:

1− x (2− x)(x− 3) x − 3 (2−-x)(x-−-3) + (2−-x)(x−-3)= (2−-x)(x−-3),

1− x+ (2− x)(x− 3)− (x− 3) -------(2-− x)(x−-3)-----,

{ 2 1− x+ 2x− 6− x + 3x− x +3, (2− x)(x− 3)⁄= 0

( ( |{ −x2 +3x − 2 = 0, |{ x2− 3x+ 2= 0 (1) | x⁄= 2, | x⁄= 2 (2) ( x⁄= 3 ( x⁄= 3 (3)

Решим уравнение (1):

D = 9− 8= 1

$⌊ 3+-1 ||x1 = 2 ⌈ 3−-1 x2 = 2$

$[x = 2 1 x2 = 1$

С учётом ограничений (2) и (3) корень $x1$ нам не подходит. Остаётся только $x2 =1.$

Ответ: 1