Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.20 Правильный шестиугольник и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1156

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $√3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно $S =p ⋅r,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $3√3-2 S = 2 a ,$ полупериметр равен $3a,$ тогда

√ - 3-3- √- 2 √- 2 ⋅( 3) = 3 3 ⋅r ⇒ r = 1,5

Ответ: 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1157

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

$PIC$

Так как угол правильного шестиугольника равен $∘ ∘ 180 (6− 2):6= 120,$ а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, $∘ ∠BAO = ∠ABO =60 ,$ следовательно, треугольник $ABO$ — равносторонний. То есть радиус окружности равен $AO$ и равен $AB.$ Так как периметр шестиугольника равен $72,$ то его сторона равна $72 :6= 12.$ Тогда диаметр описанной окружности равен $2 ⋅12 = 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#237

Около правильного шестиугольника $ABCDEF$ описана окружность с центром в точке $O.$ Расстояние от точки $O$ до одной из его сторон равно $4√3.$ Найдите радиус этой окружности.

Показать ответ и решение

$PIC$

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

$OK$ — высота в треугольнике $AOF,$ опущенная из $O.$ Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то $√- OK = 4 3.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, тогда $OF = R,$ $KF = 0,5R$ (так как $OK$ ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора

√- R2 = (0,5R)2+ (4 3)2 ⇒ R =8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#238

Сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна $√43.$ Найдите его площадь.

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр описанной около $ABCDEF$ окружности.

$PIC$

Тогда треугольники $AOF,$ $AOB,$ $BOC,$ $COD,$ $DOE,$ $EOF$ — равносторонние и все они попарно равны.

2 ∘ AF-2√3 S△AOF =0,5AF ⋅sin60 = 4 √- 2 SABCDEF = 6 ⋅S△AOF = 3-3AF-- 2

В данной задаче

3√3AF 2 SABCDEF = 6⋅S△AOF = ---2--- =4,5

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#803

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен $√12.$ Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника радиус $r$ вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

$PIC$

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне $a.$ Тогда из прямоугольного треугольника:

( ) a2 = a 2+ r2 ⇒ a = √2-r ⇒ a= √2-⋅√12-= 4 2 3 3

Таким образом, и радиус описанной окружности равен $4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#804

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной $√108.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDF E$ и в нем треугольник $ABC.$ Параллельными сторонами являются пары $AB$ и $DF,$ $BC$ и $F E,$ $CD$ и $EA.$

Помним, что угол правильного шестиугольника равен $120∘.$

$PIC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный ( $AB =BC$ ), следовательно, $∘ ∘ ∘ ∠BAC =0,5⋅(180 − 120 )= 30 .$

Таким образом, $∘ ∘ ∘ ∠CAE = 120 − 30 = 90 .$

Следовательно, $AC$ — расстояние между сторонами $AE$ и $CD$ (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми — отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем $AC$ по теореме косинусов ( $AB = BC = a= √108-$ ):

( ) AC2 = a2+ a2− 2a2 ⋅cos120∘ = 2a2(1 − cos120∘) =2 ⋅108 ⋅ 1+ 1 = 3⋅108 ⇒ √----- √ ------- 2 ⇒ AC = 3⋅108= 3⋅3⋅36= 3⋅6 =18

Ответ: 18

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#805

К окружности, описанной около правильного шестиугольника $ABCDEF,$ в точке $A$ проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой $AD.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке $AD,$ то есть $AD$ — диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и $AD$ равен $90∘.$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2099

Площадь правильного шестиугольника равна $24√3.$ Найдите длину его большей диагонали.

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если $AB = a,$ то $AD =BF = CE = 2a.$

$PIC$

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна $√ - -43a2,$ то площадь всего шестиугольника равна

√- -3-2 √ - S = 6⋅ 4 a = 24 3 ⇒ a= 4 ⇒ AD = 2a = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2100

Около правильного шестиугольника $ABCDEF$ описана окружность с центром в точке $O.$ Во сколько раз площадь этого шестиугольника больше площади треугольника $AOK,$ где $K$ — середина стороны $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, эти диагонали пересекаются в точке $O.$ Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, $AB = AO = x.$

Т.к. треугольник $AOB$ — правильный, то $∠AOB = 60∘.$ Треугольник $BOC$ также правильный. Т.к. по условию $OK$ — медиана в правильном треугольнике $BOC,$ то она и биссектриса, то есть

1 ∘ ∘ ∠BOK = 2 ⋅60 = 30

Таким образом, $∘ ∠AOK = 90 ,$ то есть треугольник $AOK$ — прямоугольный.

$PIC$

Следовательно,

1 x S△AOK = 2 ⋅AO ⋅OK = 2 ⋅OK

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:

SABCDEF = 6⋅ 1 ⋅BC ⋅OK = 6⋅ x ⋅OK 2 2

Таким образом,

SABCDEF- = 6 S△AOK

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2101

Около правильного шестиугольника $ABCDEF$ описана окружность с центром в точке $O.$ Найдите большую сторону треугольника $AOK,$ где $K$ — середина стороны $BC =√7-$ шестиугольника $ABCDEF.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, $AO$ — радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, $AB = AO = √7.$

1 ∘ ∘ ∠BOK = 2 ⋅60 = 30

Таким образом, $∘ ∠AOK = 90 ,$ то есть треугольник $AOK$ — прямоугольный.

$PIC$

Следовательно, большая сторона в треугольнике $AOK$ — это гипотенуза $AK.$ По теореме Пифагора из треугольника $BOK$ ( $OK$ также является в нем высотой):