Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.24 Теорема синусов и теорема косинусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2491Максимум баллов за задание: 1

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 1. Противолежащий ей угол $C$ равен $30∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

-AB---= 2R sin ∠C

Следовательно,

1 --1--- 1 1- R = 2 ⋅ sin30∘ = 2 ⋅12 = 1

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2492Максимум баллов за задание: 1

Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть $AB = R.$ Тогда нужно найти $∠C.$

$PIC$

По теореме синусов:

-AB--- AB- R-- 1 sin ∠C = 2R ⇒ sin∠C = 2R = 2R = 2

Так как треугольник остроугольный, то $∘ ∠C = 30 .$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2493Максимум баллов за задание: 1

Угол $C$ треугольника $ABC,$ вписанного в окружность радиуса 3, равен $30∘.$ Найдите сторону $AB$ этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

-AB---= 2R sin ∠C

Следовательно,

AB = 2R⋅sin ∠C = 2⋅3⋅sin30∘ = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2494Максимум баллов за задание: 1

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 1. Противолежащий ей угол $C$ равен $150∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

-AB---= 2R sin ∠C

Следовательно,

1 ---1-- 1 1- R = 2 ⋅sin 150∘ = 2 ⋅ 12 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2504Максимум баллов за задание: 1

Найдите хорду, на которую опирается угол $120∘,$ вписанный в окружность радиуса $√3.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC.$ По теореме синусов

a sinα-= 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий этой стороне угол, $R$ — радиус описанной окружности. Следовательно,

√- √ - -3- AB = 2R ⋅sin∠C = 2⋅ 3⋅ 2 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2553Максимум баллов за задание: 1

Сторона правильного треугольника равна $√3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

a sinα-= 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий этой стороне угол, $R$ — радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по $∘ 60 ,$ то

√ - √- ---3-- √3- 2R = sin60∘ = -32 = 2 ⇒ R = 1

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#74512Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10,BC = 10,AC = 12.$ Найдите $cosA.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим высоту из вершины $B.$ Так как $△ABC$ — равнобедренный, то $BH$ — высота и медиана. Отсюда $AH = HC = 6.$

AH- 6- cosA = AB = 10 = 0,6.

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#75884Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $NSK$ точка $M$ — середина стороны $SK$ равной 20, $N S = 6√2,$ $∠SN M = 45∘.$ Найдите длину медианы $N M.$

Показать ответ и решение

$SM = M K = 20 : 2 = 10,$ так как точка $M$ — середина стороны $SK.$

По теореме косинусов в треугольнике $SN M :$

SM 2 = SN 2 + NM 2 − 2⋅SN ⋅N M ⋅cosSN M =

√ - = (6√2-)2 + NM 2 − 2⋅6√2 ⋅NM ⋅--2= 100, 2

2 N M − 12N M − 28 = 0,

$N M = 14$ или $N M = − 2.$

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#18124Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $√- 2 3,$ угол $C$ равен $120∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$CBA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$CBA21√230∘$

По теореме синусов:

-a-- sinα = 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов:

--AB----= 2R. sin∠ACB

Подставим известные значения:

√- -2-3-- sin120∘ = 2R.

По формуле для синусов углов:

sin(180∘ − α )= sinα.

То есть синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла. Из данной формулы следует равенство:

sin 120∘ = sin(180∘− 60∘)= sin60∘.

Сделаем данную замену в исходном равенстве, подставим табличное значение $√3 sin 60∘ = -2-$ и найдем значение радиуса:

√ - -2--3-= 2R sin60∘ 2√3- -√3-= 2R 2-- 1 2 ⋅2R = 2 R = 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#137459Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $√- 3 2,$ угол $C$ равен $135∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$CBA$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$CBA31√325∘$

По теореме синусов:

-a-- sinα = 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов:

--AB----= 2R. sin∠ACB

Подставим известные значения:

√- -3-2-- sin135∘ = 2R.

По формуле для синусов углов:

sin(180∘ − α )= sinα.

То есть синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла. Из данной формулы следует равенство:

sin 135∘ = sin(180∘− 45∘)= sin45∘.

Сделаем данную замену в исходном равенстве, подставим табличное значение $√2 sin 45∘ = -2-$ и найдем значение радиуса:

√ - -3--2-= 2R sin45∘ 3√2- -√2-= 2R 2-- 1 2 ⋅2R = 3 R = 3.

Ответ: 3