.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Ясно, что самый наибольший элемент множества будет при самом наименьшем , поскольку мы к фиксированному числу прибавляем числа вида , а они становятся тем меньше, чем больше . Значит, самое большое слагаемое будет при самом маленьком , то есть

и самое главное, соблюдено определение наибольшего элемента, состоящее в том, что .

Но тогда и

поскольку - это верхняя грань множества , и она неулучшаема. Действительно, если только мы возьмем любое число, меньшее, чем , то оно уже не будет верхней гранью множества , потому что то лежит в .

В то же самое время, чем больше , тем меньше становится добавка . По идее, она будет самая маленькая при самом большом , но...этого самого большого -то не существует.

Поэтому возникает гипотеза:

Проверим её.

Действительно, - это нижняя грань множества , поскольку для любого выполнено

потому что

Но - неулучшаема. Действительно, пусть мы взяли любое . Утверждается, что тогда уже не будет нижней гранью, потому что найдется какой-то элемент множества , который будет меньше, чем .
Почему?

Потому что это равносильно тому, что найдется такое (при уже зафиксированом ), что

То есть

То есть , то есть

Но конечно, если - фиксировано, то такое натуральное всегда можно найти.

Тем самым, мы проверили определение инфимума и получили, что

Почему же - не существует?

Итак, число просто не годится на роль , поскольку оно не лежит в .

Число, большее не годится на роль , потому что, как мы уже проверили выше, оно уже просто-напросто даже не будет являться нижней гранью . Число же меньшее не годится на роль вновь потому что оно не лежит в . Значит, не существует.