.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Преобразуем немного выражение

Итак, при мы получим элемент множества . Утверждается, что это наименьший элемент в нем, то есть

Во-первых, конечно, , поэтому эта часть определения наименьшего элемента выполнена. Но почему нет элементов, меньших, чем в ?

Действительно, все остальные отрицательные элементы множества мы будем получать при остальных нечетных , больших . А, значит, добавка к дроби - а именно - дробь будет меньше, значит, мы получим менее отрицательное число, то есть при остальных нечетных выражение

будет больше, чем .

Далее, мы утверждаем, что

А именно, при мы получим элемент множества . Таким образом, во-первых, . Но почему в нет элементов, больших, чем ?

Действительно, все остальные положительные элементы множества мы будем получать при остальных четных , больших . А, значит, добавка к дроби - а именно - дробь будет меньше, значит, мы получим меньшие положительные числа, то есть при остальных четных выражение

будет меньше, чем .

Кроме того, ясно, что в данном случае

Потому что это соответственно нижняя и верхняя грань, и они неулучшаемы.

Нижняя грань неулучшаема по той простой причине, что любое число, большее уже просто-напросто не будет нижней гранью , потому что в то всё еще будет лежать элемент .

То же самое можно сказать и про верхнюю грань.