.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Пусть - множество верхних границ множества , то есть

поскольку множество - ограничено сверху, то - непусто. же непусто по условию. Более того, ясно, что выполнено .

Тогда в силу аксиомы полноты, найдётся такое число , что выполнено .

Утверждается, что это и будет супремумом , то есть .

Действительно, из определения ясно, что - верхняя граница для . Но почему она неулучшаема? Давайте предположим, что такое, что выполнено .

Но это попросту означает, что число является верхней границей множества . А, значит, по построению множества получается, что .

В то же время . Получаем противоречие с тем, что выполнено .

Следовательно, .

Комментарий. Аналогичным образом можно показать и существование инфимума у любого ограниченного снизу множества.