.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Обозначим данную последовательность за .

1.

Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из нечетных членов последовательности , то есть .

Ясно, что

Следовательно, число 0 является частичным пределом исходной последовательности.

2.

Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из четных членов последовательности , то есть .
Ясно, что , поскольку

Следовательно, число 1 является частичным пределом последовательности

3.

Докажем, что других частичных пределов нет:
Предположим противное: существует подпоследовательность последовательности , такая что .
R три случая:

3.1.

подпоследовательность содержит бесконечное количество четных членов последовательности , и конечное число нечётных членов. В таком случае ясно, что .

3.2.

подпоследовательность содержит бесконечное количество нечетных членов последовательности , и конечное число чётных членов. В таком случае ясно, что .

3.3.

подпоследовательность содержит бесконечное количество и четных, и нечетных членов последовательности . В таком случае содержит и подпоследовательность, сходящуюся к 1, и подпоследовательность, сходящуюся к 0. Значит, в таком случае предела у подпоследовательности нет.