Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . Математический анализ

.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67431

Для последовательности xn = 1n+2n2 cos 2n3π найти

--- lim-xn, lnim→∞ xn n→∞
Показать ответ и решение

Заметим, что удобно рассмотреть числовые подпоследовательности в которых cos 2n3π будет константой, для этого обозначим за числовые подпоследовательности x3n+1 , x3n+2 , x3n следующее:

x3n+1 = -(3n+1-)2- 2(3n+1)π 1+(3n+1 )2 cos 3 = -(3n+1)2- 6nπ 2π 1+ (3n+1)2 cos( 3 + 3 )

x 3n+2 = -(3n+2-)2- cos 2(3n+2)π 1+(3n+2 )2 3 = -(3n+2)2-cos(6nπ + 4π) 1+ (3n+2)2 3 3

x 3n = -(3n)2-cos 2(3n)π 1+(3n)2 3 = --(3n)2 cos 6nπ 1+ (3n)2 3
Из того, что cos(x) - функция с периодом 2π имеем следующее:

x3n+1 = (3n+1)2 6nπ 2π 1+(3n+1)2 cos(-3-+-3 ) = (3n+1)2 2π 1+(3n+1)2 cos 3 = 1 (3n+1 )2 (− 2)1+(3n+1-)2

x3n+2 = (3n+2 )2 6nπ 4π 1+(3n+2-)2 cos(-3- + -3 ) = (3n+2)2 4π 1+-(3n+2)2 cos 3 = 1 (3n+2)2 (− 2)1+-(3n+2)2

x3n = -(3n)2- 6nπ 1+(3n)2 cos 3 = -(3n)2- 1+(3n)2

Найдем куда стремятся числовые подпоследовательности x3n+1 , x3n+2 , x3n для этого разделим числитель и знаменатель на числитель, получим:

lim x3n+2 n→∞ = lim − 12--11----= − 12 n→ ∞ (3n+1)2+1

lim x3n+2 n→∞ = lim − 12--11-+1-= − 12 n→ ∞ (3n+2)2

lim x3n n→∞ = lim -11-+1 = 1 n→ ∞ (3n)2

Но ясно, что, поскольку 2 1n+n2 → 1 , а cos 2nπ3-≤ 1 , то на подпоследовательности x3n достигается верхний предел исходной последовательности x n .

Аналогично, поскольку -n2- → 1 1+n2 , а cos 2nπ≥ − 1 3 2 , то на подпоследовательности x3n+1 , а также на подпоследовательности x3n+2 достигается нижний предел исходной последовательности xn .

Следовательно, 1 --- lim- xn = − 2,nl→im∞ xn = 1 n→ ∞ .

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!