.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

От противного. Пусть есть такое ограниченное сверху множество , у которого нашлось два разных супремума .

Но раз , то какое-то из этих чисел строго больше другого. Не теряя общности, будем считать, что .

Далее, по определению супремума, поскольку - это супремум мы имеем, что

Пусть - расстояние между нашими двумя различными супремумами.

Ну и раз , то и для это тоже будет выполнено. Таким образом, полагая получим, что

Но ясно по построению, что .

Таким образом,

Но что же получилось? А получилось, что мы нашли такой , который .

Чего не может быть никак, ведь и тоже было супремумом множества . В частности, должно быть любого .

Противоречие. Следовательно, двух разных супремумов у множества никогда быть не может.