.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Покажем, что , докажем по определнию:

1.

Ясно, что . Покажаем теперь, что эта граница неулучшаема.

2.

Надо показать, что . Учитывая определение множества , это означает, что нам нужно доказать, что . Естественно, такие найти можно. А именно, возьмем , а настолько большое, чтобы

Ясно, что такое можно подобрать, взяв его просто больше, чем

Покажем, что .

1.

. Это действительно так, потому что

Покажем, что эта граница неулучшаема. А именно, что

2.

такие, что

Возьмем , тогда достаточно найти такое , что

Что равносильно тому, что

То есть

Такое , разумеется, всегда можно будет найти.